Matemática, perguntado por vitorpinhero, 5 meses atrás

Resolva a integral a seguir por frações parciais

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor da solução da integral é: - ln|x + 1| +ln|x - 2| + C

Método das frações parciais:

O método das frações parciais consiste em decompor um quociente de polinômios em uma soma de polinômios de menor grau. Para decompor uma expressão em frações parciais devemos atender a um certo requisito, o requisito é que o grau do polinômio do denominador seja estritamente maior que o do numerador.

Tendo em conta este método podemos encontrar a solução do nosso problema.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema nos pede para resolver esta integral indefinida pelo método das frações parciais: $\displaystyle \int \dfrac{3x}{x^3- x^2- 2 x} dx$

Vemos que o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, aqui cumprimos a condição mais importante para realizar a decomposição em frações parciais.

Antes de aplicar este método será necessário fatorar os polinômios do numerador e do denominador. Primeiro podemos fatorar o polinômio do denominador, pois será o mais simples.

Vemos que no denominador será possível extrair a variável x de tal forma que quando ela for multiplicada pela expressão já fatorará o mesmo resultado.

$\displaystyle \int \dfrac{3\not\!x}{\not\!x\left(x^2- x- 2 \right)} dx\\\\ \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2- x- 2 } dx$

Tendo feito a simplificação, reduzimos o grau de ambos os polinômios. Agora, aqui podemos novamente fatorar o polinômio no denominador por um produto de polinômios de grau 1.

$\displaystyle \int \dfrac{3}{(x+1)(x-2) } dx$

Com a expressão que obtivemos podemos usar o método das frações parciais, esta fração pode ser simplificada como:

$\displaystyle \dfrac{3}{(x+1)(x-2) } =\dfrac{A}{x+1} +\dfrac{B}{x-2}\\ \\ \displaystyle 3 = A (x-2) + B(x + 1)$

Sendo constantes A e B que podem ser determinadas, para determinar o valor dessas constantes podemos alterar os valores de x à nossa disposição.

Se x tiver um valor igual a 2, o valor de uma de nossas constantes será:

$\displaystyle 3 = A (2-2) + B(2+ 1)\\\\ 3 = 3 B \\\\ ~\Longrightarrow\quad \boxed{\sf 1 = B }$

Se x tiver um valor igual a -1, o valor de uma de nossas constantes será:

$\displaystyle 3 = A (-1-2) + 1(-1+ 1)\\\\ 3 = - 3 A \\\\ ~\Longrightarrow\quad \boxed{\sf -1 = A }$

Como já encontramos todos os valores de nossas constantes podemos dizer que nossas frações parciais são:

$\displaystyle \dfrac{3}{(x+1)(x-2) } =-\dfrac{1}{x+1} +\dfrac{1}{x-2}$

Como já encontramos nossas frações parciais, a integral pode ser igual a:

$\displaystyle \int \left(-\dfrac{1}{x+1} +\dfrac{1}{x-2} dx\right)$

Essa integral pode ser simplificada usando algumas propriedades que já existem, para o nosso caso podemos aplicar a regra da adição, a regra da adição tem a expressão: $\displaystyle \sf \int f(x)\pm g(x) dx=\int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

Aplicando esta regra em nossa integral obtemos o produto de duas integrais muito simples de resolver.

$\displaystyle \int -\dfrac{1}{x+1} dx+\int \dfrac{1}{x-2} dx\\\\ \displaystyle -\int \dfrac{1}{x+1} dx+\int \dfrac{1}{x-2} dx$

Para encontrar a solução dessas duas integrais devemos lembrar algumas regras de integração, uma dessas regras diz que uma integral de estilo: $\sf \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx= \ell n|x | + C$

Aplicando esta regra podemos concluir que o valor da integral é:

$\displaystyle- \ell n\left|x + 1\right|+ C _ 1+\ell n \left|x - 2\right|+ C _2 \\\\ \boxed{\boxed{\bf- \ell n\left|x + 1\right|+\ell n \left|x - 2\right|+ C}}\Longrightarrow \bf Resposta~ \checkmark$