Question

Resolva a integral a baixo e marque a alternativa correta da forma mais simplificada possível.
$f \: x {e}^{x} dx$
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Answer 1

Resposta:  $\displaystyle\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida

    $\displaystyle\int xe^x\,dx$

Utilizaremos o método de integração por partes:

    $\begin{array}{lcl}u=x&\quad\Longrightarrow\quad &du=dx\\\\ dv=e^x\,dx&\quad\Longleftarrow\quad&v=e^x \end{array}$

Aplicando a fórmula de integração por partes e substituindo, temos

   $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   $\displaystyle\Longrightarrow\quad\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\\\\\\\\\Longleftrightarrow\quad\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C$

Colocando o fator comum em evidência, o resultado para a integral fica

    $\displaystyle\Longleftrightarrow\quad\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Obs.: Esta é a forma mais simplificada possível.

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Bons estudos!