Question

resolva a integra com explicações por favor,

as duas formulas são as mesma integral.$\int\ \frac{3}{x^2+2x+5} \, dx \\\\ou\\\int\ \frac{3}{(x+1)^2+4} \, dx$

se alguem puder ajudar?

Answer 1

Resposta:

24arc tg[(x+1)/2] + c

Explicação passo-a-passo:

∫{3/[(x+1)² +4]} dx =

3∫{1/[(x+1)² +4]} dx =

3∫{4/[((x+1)²/4) +4/4]} dx, captou essa passagem? Eu dividi tudo por 4 e multipliquei em cima por 4.

12∫{1/[((x+1)/2)² +1]} dx

(x+1)/2 = v

(1/2)dx = dv

dx = 2dv

12∫{1/[((x+1)/2)² +1]} dx

12∫{1/[(v)² +1]} (2)dv =

24(1/2)∫{1/[(v)² +1]}dv =

24∫{1/[(v)² +1]}dv =

24arctg(v) + c

24arc tg[(x+1)/2] + c

Answer 2

Resposta:

∫ 3/(x²+2x+5)  dx

Completando os quadrados:

x²+2x+5

x²+2x+1-1+5

(x+1)²+4

∫ 3/((x+1)²+4)  dx

Fazendo (x+1)= 2*tan(u), ficamos com:

dx  = 2 * [(sen(u)'*cos(u) - sen(u)*(cos(u))']/cos²(u)

dx  = 2 * [cos²(u) +sen²(u)]/cos²(u) =2/cos²(u)

dx= 2sec²(u) du

∫ 3/(4tan²(u)+4)  sec²(u) du

∫ 3/[4sen²(u)/cos²(u)+4]   *   2sec²(u) du

∫ 3/{[4sen²(u)+4cos²(u)]/cos²(u)}   *   2sec²(u) du

∫ 3/{[4sen²(u)+4cos²(u)]/cos²(u)}   *   2sec²(u) du

∫ 3cos²(u)/[4sen²(u)+4cos²(u)]   *   2/cos²(u) du

2 *∫ 3/[4sen²(u)+4cos²(u)]    du

*****4sen²(u)+4cos²(u)=4

2 *∫ 3/[4]    du

∫ 3/2   du = u  + const

Como (x+1)= 2tan(u) ==> u = arctan (x+1)/2

= (3/2)* arctan(x+1)/2 + const   é a resposta