Question

resolva a inequação x2-7x+6>0

Answer 1

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Resolver a inequação do 2º grau:

$\mathsf{x^2-7x+6>0\qquad\quad(i)}$


Calculando as raízes do lado esquerdo:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-7}\\\mathsf{c=6} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 6}\\\\ \mathsf{\Delta=49-24}\\\\ \mathsf{\Delta=25}$


As raízes do lado esquerdo da inequação são:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-(-7)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{7-5}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{7+5}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{2}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{12}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=1}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=6}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(i)},$ ficamos com

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)>0}\\\\ \mathsf{(x-1)(x-6)>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto\qquad(ii)}$


Montando o quadro de sinais:

$\begin{array}{cc} \mathsf{x-1}&\mathsf{\underline{~~---}\underset{1}{\bullet}\underline{++++}\underset{6}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\ \mathsf{x-6}&\mathsf{\underline{~~---}\underset{1}{\bullet}\underline{----}\underset{6}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}}\\\\\\ \mathsf{(x-1)(x-6)}&\mathsf{\underline{~~+++}\underset{1}{\bullet}\underline{----}\underset{6}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}} \end{array}$


Queremos que o produto do lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ seja positivo. Logo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x<1~~ou~~x>6.}$


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~x<1~~ou~~x>6\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,1\right[\,\cup\,\left]6,\,+\infty\right[.}$


Bons estudos! :-)


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