Question

resolva a inequação x2-5x4<0
o 2 é ao quadrado e esse < símbolo tem um traço em baixo

Answer 1

Resposta:

x ∈ ] - ∞ ; - √5 / 5  ]     ∨      x  ∈  [ + √5  / 5 ; + ∞ [

Explicação passo a passo:  

Seu enunciado indica :

$x^{2} -5x^{4} \leq 0$

Colocando x² em evidência fica

$x^{2}*(1 -5x^{2}) \leq 0$

Temos no primeiro membro um produto em que x² é ou igual a zero ou

sempre positivo.

Para que $x^{2} -5x^{4} \leq 0$  venha negativo 1 - 5x² tem de ser negativo.

Observação 1 → Sinal de uma multiplicação

Se um dos fatores da multiplicação for positivo, para que o resultado final

dê negativo ( < 0 ), o outro fator terá de ser negativo.

( + ) *  ( - ) = ( - )

Para analisar quando sua inequação original precisa apenas de estudar a

expressão 1 - 5x².

Quando  1 - 5x² for menor ou igual a zero a equação inicial também será

menor ou igual a zero.

Cálculo dos zeros de 1 - 5x².

1 - 5x² = 0

Como é uma equação incompleta do 2º grau ( falta o termo em x ) não é

preciso utilizar a Fórmula de Bhascara.

Há caminhos mais curtos para obter as soluções.

- 5x² = - 1

multiplicar ambos os membros por - 1

+ 5x² = + 1

dividir ambos os membros por 5

5x² / 5 = 1/5

x² = 1/5

$x = +\sqrt{\frac{1}{5} } =\dfrac{\sqrt{1} }{\sqrt{5} }= \dfrac{1}{\sqrt{5} }$                ∨     $x = -\sqrt{\frac{1}{5} } =-\dfrac{\sqrt{1} }{\sqrt{5} }=- \dfrac{1}{\sqrt{5} }$    

Racionalizar os denominadores.

Observação 2 → Racionalizar denominadores

Esta racionalização é feita porque é muito difícil dividir um número por uma

dízima infinita não periódica.

√5 = 2,2360679774997896964091736687313 ...

Tente dividir 1 por 2,2360679774997896964091736687313 ...

Claro que é muitíssimo difícil.

Observação 3 → Radiciação e Potenciação

Quando em simultâneo se tem raiz quadrada de "algo", tudo elevado ao

quadrado, o resultado é esse "algo".

Isto acontece porque estas duas operações, radiciação e potenciação são

operações inversas que se cancelam mutuamente.

Exemplo

$(\sqrt[2]{5} )^2=5$

Neste caso multiplicar o numerador e o denominador por √5

$\dfrac{1}{\sqrt{5} } =\dfrac{1*\sqrt{5} }{\sqrt{5}*\sqrt{5} } =\dfrac{\sqrt{5} }{(\sqrt{5} )^{2} } =\dfrac{\sqrt{5} }{5}$

Como se trata de uma inequação do 1º grau

1 - 5x² < 0

Precisamos de analisar o coeficiente do termo em x².

Ele é  "- 5" < 0

Análise do sinal

Porque a = - 5 , logo < 0 ,  entre as soluções o sinal de 1 - 5x² vem positivo.

Isto é totalmente visível no gráfico.

Não esquecer que para está a analisar valores de coordenadas em y.

Quando dizemos :

→ o valor de uma função é positivo

→ ou o valor de uma função é negativo

estamos a falar dos valores das coordenadas em y

( se eu pudesse eu colocava estas três frases com letra do tamanho da estátua do Cristo Rei )

( sem ofensa nem para a estátua nem para a Matemática )

Mas para valores de x fora , do intervalo das soluções, vem negativo o

valor de  1 - 5x²  ( ≤ 0 )  que é o que se pretende .

Assim  $x^{2} -5x^{4} \leq 0$  estará definida da seguinte maneira :

x ∈ ] - ∞ ; - √5 / 5  ]      ∨      x   ∈  [ + √5  / 5 ; + ∞ [  

Gráfico em anexo.

Vê-se claramente que 1 - 5x² vem negativo para estes dois intervalos.

Bons estudos.

-------------------------

( ∨ )  ou                ( ≤ )  menor ou igual a                        ( * ) multiplicação

( / ) divisão          ( sqrt) aparece no gráfico e é a abreviação de " square root"  em Inglês que quer dizer " raiz quadrada "