Question

Resolva a inequação:

(x² - 5x) . (x² - 8x + 12) < 0

Answer 1

$\left(x^{2}-5x \right )\cdot \left(x^{2}-8x+12 \right )<0$


Temos uma inequação-produto na forma

$f\left(x \right ) \cdot g\left(x \right )<0$

onde

$f\left(x \right )=x^{2}-5x,\;\;\;g\left(x \right )=x^{2}-8x+12$


Para que o produto seja negativo, os fatores devem ter sinais diferentes. Vamos analisar o sinal de cada fator:


a) Analisar o sinal da função $f\left(x \right )=x^{2}-5x$:

Encontrando as raízes desta função, temos:

$x^{2}-5x=0\\ \\ x \cdot \left(x-5 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x=0&\text{ ou }&x-5=0 \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=0&\text{ ou }&x=5 \end{array}}$


O gráfico desta função é uma parábola com concavidade voltada para cima. Sendo assim, o sinal da função $f\left(x \right )=x^{2}-5x$ é representado como na reta abaixo:

$++++\underset{0}{\bullet}-----\underset{5}{\bullet}++++\;\;\;f\left(x \right )$

ou seja

$\left\{\begin{array}{l} f\left(x \right )> 0\text{,\;\;\;se \;}x< 0\text{\; ou \;}x > 5\\ \\ f\left(x \right )< 0\text{,\;\;\;se \;}0<x<5\\ \end{array}\right.$


b) Analisar o sinal da função $g\left(x \right )=x^{2}-8x+12$:

Encontrando as raízes desta função, temos:

$x^{2}-8x+12=0\\ \\ x^{2}-2x-6x+12=0\\ \\ x \cdot \left(x-2 \right )-6\cdot \left(x-2 \right )=0\\ \\ \left(x-2 \right )\cdot \left(x-6 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-2=0&\text{ ou }&x-6=0 \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=2&\text{ ou }&x=6 \end{array} }$


O gráfico desta função também é uma parábola com concavidade voltada para cima. Sendo assim, o sinal da função $g\left(x \right )=x^{2}-8x+12$ é representado como na reta abaixo:

$++++\underset{2}{\bullet}-----\underset{6}{\bullet}++++\;\;\;g\left(x \right )$

ou seja

$\left\{\begin{array}{l} g\left(x \right )> 0\text{,\;\;\;se \;}x< 2\text{\; ou \;}x > 6\\ \\ g\left(x \right )< 0\text{,\;\;\;se \;}2<x<6\\ \end{array}\right.$


c) Combinando os intervalos das soluções dos dois fatores $f\left(x \right )$ e $g\left(x \right )$:

$a \\ \\+++\underset{0}{\bullet}--\underset{2}{\bullet}---\underset{5}{\bullet}+++\underset{6}{\bullet}+++\;\;\;f\left(x \right )\\ \\ +++\underset{0}{\bullet}++\underset{2}{\bullet}---\underset{5}{\bullet}---\underset{6}{\bullet}+++\;\;\;g\left(x \right )\\ \\ \\ +++\underset{0}{\bullet}--\underset{2}{\bullet}+++\underset{5}{\bullet}---\underset{6}{\bullet}+++\;\;\;f\left(x \right )\cdot g\left(x \right )$


Notamos que a função-produto $f\left(x \right )\cdot g\left(x \right )$ só é negativa quando

$0<x<2\text{\;\; ou \;\;}5<x<6$


Então, o conjunto-solução da inequação-produto é

$S=\left\{x\in \mathbb{R}\left|\;0<x<2\text{\;\; ou \;\;}5<x<6\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos para representar o conjunto-solução

$S=\left(0,\,2 \right )\cup\left(5,\,6 \right )$