Question

resolva a inequação: (x² - 2x + 12) (x² - 5x) < 0

Answer 1

Boa noite!

Para resolver essa inequação, devemos fazer o chamado estudo do sinal de cada um dos fatores.

O primeiro passo é  a equação do segundo grau: Temos que calcular os zeros dela:

$x^2-2x+12=0$

Então: 

$\Delta=b^2-4ac\\ \\ \Delta=(-2)^2-4.1.12\\ \\ \Delta=4-48=-44$

Você pode pensar: "Mas, Ferraz, o Delta deu negativo, então não tem raiz real e o conjunto solução é vazio!", mas isso não é necessário. De fato, a única informação que esse valor negativo nos dá é que a parábola da função não intercepta o eixo 'x', e como o coeficiente 'a' é positivo, para todo valor de 'x' encontramos valores positivos!


Agora vamos ao segundo caso:

$x^2-5x=0\\ \\ x(x-5)=0 \\ \\ x=0 \ \ ou \ \ x=5$

Assim, essa parábola admite valores negativos entre 0 e 5 (você pode notar isso facilmente "plotando" ou fazendo um rascunho do gráfico).

Agora faremos o estudo dos sinais, considerando 

$x^2-2x+12=A \\ \\ x^2-5 = B$

Fazemos esse estudo em uma tabelinha, lembrando de colocar o produto AB, que é o que procuramos, junto do jogo de sinais da multiplicação:


A |  +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +
B |  +   +   +   +   +   0    -    -    -    5   +   +   +

AB |     +   +   +   +   °    -    -    -   °    +    +   +

Ou seja, entre 0 e 5 (não inclusos), o valor do produto e negativo, logo, podemos facilmente dar a solução:


$\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}|\ 0\ \textless \ x\ \textless \ 5\}}$

Bem, espero que consiga fazer outras questões semelhantes a partir de agora!

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