Question

Resolva a inequação: x²-10x+25>0

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{\mathsf{x^2-10x+25>0}}$


Vamos fatorar o lado esquerdo da inequação acima. Para isso, vamos encontrar as raízes pela fórmula resolutiva:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-10}\\\mathsf{c=25} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 25}\\\\ \mathsf{\Delta=100-100}\\\\ \mathsf{\Delta=0}$


Como o discriminante $\mathsf{\Delta}$ deu zero, as duas raízes são iguais:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-(-10)-\sqrt{0}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-(-10)+\sqrt{0}}{2\cdot 1}}\end{array}$

                    $\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{10}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{10}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=5}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=5}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes iguais)} \end{array}$


Então, fatorando o lado esquerdo, a inequação fica

$\mathsf{(x-r_1)(x-r_2)>0}\\\\ \mathsf{(x-5)(x-5)>0}\\\\ \mathsf{(x-5)^2>0}$


Observando a última linha acima, vemos que a desigualdade sempre é satisfeita para $\mathsf{x\ne 5,}$ já que o quadrado de qualquer número diferente de zero sempre dá resultado positivo.


Então, basta que tenhamos

$\mathsf{x-5\ne 0}\\\\ \mathsf{x\ne 5}\qquad\quad\checkmark$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\mathbb{R}\setminus \{5\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,5\right[\,\cup\,\left]5,\,+\infty\right[.}$


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