Question

Resolva a inequação (x-5)(-2x-4) ≥ 0 no conjunto universo dado.
a) U= Naturais
b) U= inteiros
c) U= Reais.

gab: a-> {0,1,2,3,4,5}
b-> {-2,-1,0,1,2,3,4,5}
c-> {xeR|-2≤x≤5}

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte inequação:

(x-5)*(-2x-4) ≥ 0

Depois pede-se para dar o conjunto-solução nos seguintes conjuntos universos: Naturais (N), Inteiros (Z)  e Reais (R).

ii) Bem, vamos logo resolver a inequação. Note que se trata de uma inequação-produto dada por:

(x-5)*(-2x-4) ≥ 0

Veja que temos o produto de duas equações do 1º grau, cujo resultado terá que ser maior ou igual a zero. Temos f(x) = x - 5; e temos g(x) = -2x-4.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações dadas. Depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas. Então teremos:

f(x) = x - 5 ---> raízes: x - 5 = 0 ---> x = 5
g(x) = -2x-4 ---> raízes: -2x-4 = 0 --> -2x = 4 --> 2x = -4 --> x = -2.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas em função de suas raízes. Assim teremos:

a) f(x) = x-5 ..... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5) + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = -2x-4... + + + + + (-2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
c) a*b ............... - - - - - - -  (-2) + + + + + + + + + (5) - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que o produto de f(x) por g(x) seja positivo ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de mais (ou é igual a zero) no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de a*b, ou seja, de f(x)*g(x) . Como você viu aí em cima no item "c", a resposta está no intervalo entre "-2" e "5". Agora vamos dar a resposta no âmbito do conjunto universo pedido (nos Naturais, nos Inteiros e nos Reais).

Antes de iniciar, veja que o conjunto dos Naturais (N), dos Inteiros (Z) e dos Reais (R) são definidos assim:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; .....} --- veja: começa do "0" e,de uma em uma unidade, vai até o + infinito.

Z = {-∞; ..... -2; -1; 0; 1; 2; ....} ---- veja: vem lá do menos infinito e, assim, de uma em uma unidade, vai até o mais infinito.

R = N ∪ Z ∪ Q ∪ I --- ou seja, o conjunto dos números Reais é a união de todos os outros conjuntos de números conhecidos: Naturais união com os Inteiros união com os Racionais união com os Irracionais. Então os números Reais são o resultado da união de todos esses conjuntos.

ii) Visto isso, agora vamos dar a resposta no âmbito de cada conjunto-universo considerado.

ii.a) No âmbito do conjunto dos números Naturais, considerando que a resposta está entre "-2" e "5", então teremos:

{0; 1; 2; 3; 4; 5} <--- Esta é a resposta no âmbito dos Naturais. Lembre-se que os Naturais começam do "0" e, de uma em uma unidade, vão até o mais infinito.

ii.b) No âmbito do conjunto dos números Inteiros, considerando que a resposta está entre "-2" e "5", então teremos:

{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} <---Esta é a resposta no âmbito dos Inteiros. Lembre-se que os Inteiros começam lá do "menos infinito" e, de uma em uma em uma unidade, vão até o "mais infinito".

ii.c) No âmbito do conjunto dos números Reais, considerando que a resposta está entre "-2" e "5", então teremos:

{x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 5} <--- Esta é a resposta no âmbito dos Reais. Lembre-se que os Reais englobam todos os números conhecidos (Naturais + Inteiros + Racionais + Irracionais) e fica impossível informar quais são esses números. Por isso, no âmbito dos Reais, a resposta tem que ser dada em forma de intervalos reais, como está informado aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.