Question

resolva a inequação |x-1|-|x+2|>x

Answer 1

Olá, 

Vamos usar a definição de módulo:

$\left | x\right |= \begin{cases} x & \text{ se } x\geq 0 \\ -x& \text{ se } x\ \textless \ 0 \end{cases}$

Usando essa definição para cada módulo da inequação, separadamente:

$\left | x-1\right |= \begin{cases} (x-1) & \text{ se } x-1\geq 0 \text{, ou seja, } x\geq 1 \\ (1-x)& \text{ se } x-1< 0 \text{, ou seja, } x<1 \end{cases}$

$\left | x+2\right |= \begin{cases} (x+2) & \text{ se } x+2\geq 0 \text{, ou seja, } x\geq -2 \\ (-x-2)& \text{ se } x+2\ \textless \ 0 \text{, ou seja, } x\ \textless \ -2 \end{cases}$

Agora observe que estamos contemplando 3 intervalos:

$x \leq -2 \\ \\ -2 \leq x\ \textless \ 1 \\ \\ x\ \textgreater \ 1$

Temos que verificar como a inequação se comporta em cada intervalo.

Se $x \ \textless \ -2$

Quando isso acontece, 

|x-1| = 1-x
|x+2| = -x-2,

então a inequação fica:

|x-1|-|x+2|>x
1-x -(-x-2) >x
1-x+x+2>x
1+2>x
3 >x
x<3

Se $-2 \leq x\ \textless \ 1$

|x-1| = 1-x
|x+2| = x+2,

|x-1|-|x+2|>x
1-x -(x+2) >x
1-x-x-2>x
-1-2x>x
-2x-x >1
-3x>1
3x<-1
x<-1/3

Se $x \geq 1$

|x-1| = x-1
|x+2| = x+2,

|x-1|-|x+2|>x
x-1 -(x+2) >x
x - 1 - x - 2 > x
-3 > x
x < -3

Então os intervalos onde a inequação tem validade são:

x<3
x<-1/3
x < -3

No entanto, observamos que para qualquer valor x> -1/3, a inequação não é válida. Por exemplo, se x = 0

|x-1|-|x+2|>x
|0-1|-|0+2|>0
|-1|-|2|>0
1 -2 >0
-1 > 0 o que é absurdo

Então os valores são

x<-1/3
x < -3

como x<-1/3 ja engloba -3, A solução fica:

S = {x ∈ R /  x < -1/3}