Question

Resolva a inequação: $\frac{2x+1}{3x-1} \ \textgreater \ 1$

Answer 1

$\dfrac{2x+1}{3x-1}>1$


$\bullet\;\;$ Condição de existência:

O denominador não pode ser zero:

$3x-1\neq 0\;\;\Rightarrow\;\;x\neq \frac{1}{3}$


$\bullet\;\;$ Resolver a inequação dada, respeitando a condição de existência acima:

$\dfrac{2x+1}{3x-1}>1$


Multiplicando os dois lados da inequação por $(3x-1)^{2},$ que é sempre positivo, o sentido da desigualdade não se altera:

$\dfrac{2x+1}{3x-1}\cdot (3x-1)^{2}>1\cdot (3x-1)^{2}\\ \\ \\ (2x+1)(3x-1)>(3x-1)^{2}\\ \\ 6x^{2}-2x+3x-1>9x^{2}-6x+1\\ \\ 6x^{2}+x-1>9x^{2}-6x+1\\ \\ 0>9x^{2}-6x^{2}-6x-x+1+1\\ \\ 3x^{2}-7x+2<0\\ \\ 3x^{2}-1x-6x+2<0\\ \\ x\,(3x-1)-2\,(3x-1)<0\\ \\ (3x-1)(x-2)<0$


As raízes do lado esquerdo são $x_{1}=\frac{1}{3}\;\;\text{ e }\;\;x_{2}=2.$


Logo, a solução da inequação dada é

$S=\left(\frac{1}{3}\,,\;2\right)$


ou escrevendo em notação usual,

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\;\frac{1}{3}<x<2\right. \right \}.$