Question

resolva a inequação $3 ^{log5 (x^2 -4x + 4)} \ \textless \ 1$

Answer 1

$3^{\log_5(x^2-4x+4)}\ \textless \ 3^0 \\ \\ \log_5(x^2-4x+4)\ \textless \ 0 \\ \\ (x^2-4x+4)\ \textless \ 5^0 \\ \\ x^2-4x+4\ \textless \ 1 \\ \\ x^{2} -4x+4-1=0 \\ x^{2} -4x+3=0 \\ \\ a=1 \\ b=-4 \\ c=3 \\ \\ \Delta=b^2-4ac \\ \Delta=(-4)^2-4(1)(3) \\ \Delta=16-12 \\ \Delta=4 \\ \\ x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a} =~~ \frac{4\pm2}{2} \\ \\ x'= \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} =3 \\ \\ x"= \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} =1$ 

vamos calcular a condição

$x^{2} -4x+4\ \textgreater \ 0 \\ (x-2)^2\ \textgreater \ 0 \\ x-2\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ 2$ 

fazendo o quadro de sinais

$A~~~~---\circ^1xxxxxxxxx\circ^3--- \\~B~~~~ xxxxxxxxxxx\circ^2xxxxxxxxx \\ \\ A\bigcap B=--\circ^1xxxx\circ^2xxxxx\circ^3---- \\ \\ S=\{x\in R/1\ \textless \ x\ \textless \ 3~~com~~x \neq 2\}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Gabriel, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para resolver a seguinte inequação:

3^(log₅ (x²-4x+4)) < 1

ii) Antes vamos ver qual será a condição de existência do logaritmo que é expoente do "3" e que está na base "5".

ii.1) Com relação à base, veja que a base de um logaritmo tem que ser positiva (>0) e diferente de "1". Mas como já vimos que a base é "5", então ela é positiva e diferente de "1". Portanto, com relação à base não deveremos nos preocupar.

ii.2) Com relação ao logaritmando, teremos que impor que ele seja positivo (>0), pois só existe logaritmo de números positivos. Então, com relação ao logaritmando, teremos que impor isto:

x² - 4x + 4 > 0

Para sabermos os intervalos em que a equação acima é positiva, deveremos, primeiro, encontrar suas raízes. E, para isso, a faremos igual a zero. Assim, teremos:

x² - 4x + 4 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai ver que as raízes são estas:

x' = x'' = 2 <--- Ou seja, a equação acima tem duas raízes reais e ambas iguais a "2".

Agora vamos estudar a variação de sinais da equação acima, em função de suas raízes, pra saber em que intervalos ela será positiva. Fazendo isso, teremos:

x² - 4x + 4 > 0... + + + + + + + + (2) + + + + + + + + + + + + +

Assim, como se viu no gráfico acima, a equação dada será positiva nos seguintes intervalos:

x < 2, ou x > 2 ---- Estão estas serão as duas condições de existência da equação que é é o logaritmando do logaritmo expoente do "3". A propósito, note que se "x" não pode ser igual a "2", pois se ele fosse igual a "2" a equação zeraria (lembre-se: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz).

iii) Agora como já temos as condições de existência, então vamos resolver a expressão da sua questão, que é esta:

3^(log₅ (x²-4x+4) < 1

Note que o "1" que está no 2º membro, poderá ser substituído por 3⁰ , pois todo número diferente de zero, quando está elevado a zero, é igual a "1". Logo:

3^(log₅ (x²-4x+4) < 3⁰

Agora veja: como as bases são iguais, então poderemos comparar os expoentes. E, na comparação dos expoentes o faremos com o mesmo sinal da desigualdade ( < ), pois as bases são maiores do que "1" (note que as bases são "3"; e "3" é maior do que "1"). Fazendo isso, teremos (ou seja: comparando os expoentes):

log₅ (x²-4x+4) < 0 ----- se você aplicar a definição de logaritmo, iremos ter isto:

x²-4x+4 < 5⁰ ----- como 5⁰ = 1, ficaremos com:
x² - 4x + 4 < 1 --- passando "1' para o 1º membro, teremos:
x² - 4x + 4 - 1 < 0
x² - 4x + 3 < 0.

Se você aplicar Bháskara, vai encontrar que as raízes serão estas:

x' = 1
x'' = 3.

Agora veja que queremos que a expressão acima seja menor do que zero, então vamos estudar a variação de sinais dela, em função de suas raízes (x' = 1 e x'' = 3). Fazendo isso, teremos:

x² - 4x + 3 < 0.... + + + + + + + (1) - - - - - - - - - - - -  (3) + + + + + + + + + +

Como queremos que a equação acima seja menor do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no gráfico acima.
Logo, a resposta, em princípio, será o seguinte intervalo:

1 < x < 3 --- Mas você viu, que nesse intervalo, o "2" está incluído. E já vimos lá nas condições de existência, que o "2" não poderá entrar, pois vimos lá que ou x < 2, ou x > 2. Logo, o "2" não entra por causa das condições de existência.
Assim, a resposta correta deverá ser esta:

1 < x < 3, com x ≠ 2 ----- Esta é a resposta. Veja que está exatamente como você informou que está no gabarito da questão.

Veja que há diferentes formas de indicar o intervalo acima. Uma delas é a que já está aí em cima como resposta.

Uma outra seria:

1 < x < 2, ou 2 < x < 3 ---- Esta seria uma forma equivalente da resposta dada.

Uma outra seria esta:

(1; 2) ∪ (2, 3).

Todas as formas acima são equivalentes à resposta que demos e que está no gabarito da questão, como você informou.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.