Question

Resolva a inequação sin² x ⩾ 1/4 com 0 ⩽ x ⩽ 2π. (sugestão: faça t = sin x e resolva t² ⩾ 1/4)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ulisses, que esta mesma questão nós já resolvemos para outro usuário (para o Pablo). Então iremos apenas transcrever a resposta que demos para o Pablo, ok?
Lá vai a transcrição:

"Vamos lá.

Veja, Pablo, que a resolução, após as explicações recebidas, ficou simples.

i) Como está informado que se trata de sen²(x) que é maior ou igual a 1/4, então teremos que:

sen²(x) ≥ 1/4 ------- isolando sen(x), teremos:
sen(x) ≥ ± √(1/4) ---- como √(1/4) é igual a "1/2", teremos:
sen(x) ≥ ± 1/2

Agora note que: se temos uma inequação da forma sen(a) ≥ ± k , então tem-se que: -k ≤ sen(a) ≥ k

Logo, tendo o que se viu aí em cima como parâmetro, então, se temos sen(x) ≥ ± 1/2, então teremos isto:

- 1/2 ≤ sen(x) ≥ 1/2

i) Note que temos aí em cima duas desigualdades: uma com: -1/2 ≤ sen(x) e outra com: sen(x) ≥ 1/2

ii) Vamos trabalhar com a primeira hipótese, que é esta:

-1/2 ≤ sen(x) --- ou, o que é a mesma coisa:
sen(x) ≥ -1/2

Agora note que no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π] o sen(x) é igual a "-1/2" nos arcos (ou ângulos) de 210º (ou 7π/6) e de 330º (ou 11π/6). Então o arco "x" estará no seguinte intervalo, ou seja, teremos para esta primeira hipótese:

7π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ----- Esta é a hipótese que vale para sen(x) ≥ -1/2

iv) Agora vamos para a segunda hipótese, que é esta:

sen(x) ≥ 1/2

Veja que o seno é igual a "1/2", no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], nos arcos (ou ângulos) de 30º (ou π/6) e de 150º (ou 5π/6). Então o arco "x" estará no seguinte intervalo, ou seja, teremos para esta segunda hipótese:

π/6 ≤ x 5π/6 ----- Esta é a hipótese que vale para sen(x) ≥ 1/2 .

v) Assim, resumindo, temos que o conjunto-solução para o arco "x" contido na expressão dada [sen²(x) ≥ 1/4], e no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], será este:

π/6 ≤ x ≤ 5π/6; ou 7π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ---- Esta é a resposta.

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = [π/6; 5π/6] ∪ [7π/6; 11π/6].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir."

Pronto. A transcrição é a que está posta aí em cima.

OK?
Adjemir.

Answer 2

Boa tarde!!

sin² x ⩾ 1/4

Como sugere o exercício, t = sin x:

t² ⩾ 1/4

t ⩾ ± √1/4

t ⩾ ± 1/2

Ou seja:
-1/2 ⩾ t ⩾ 1/2

Como o exercício quer que sin x seja maior ou igual que 1/2 e menor ou igual que -1/2 tem-se:

Quando x é positivo: 
sin π/6 = 1/2
sin 6π/5 = 1/2
 π/6 ⩽ x ⩽ 5π/6

Quando x é negativo:
sin 6π/7 = -1/2
sin 11π/7 = -1/2
7π/6 ⩽ x ⩽ 11π/6

Logo:
x = [π/6,5π/6] ∪ [7π/6,11π/6]

Bons estudos!