Resolva a inequação sin² x ⩾ 1/4 com 0 ⩽ x ⩽ 2π. (sugestão: faça t = sin x e resolva t² ⩾ 1/4)
Soluções para a tarefa
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1
Vamos lá.
Veja, Ulisses, que esta mesma questão nós já resolvemos para outro usuário (para o Pablo). Então iremos apenas transcrever a resposta que demos para o Pablo, ok?
Lá vai a transcrição:
"Vamos lá.
Veja, Pablo, que a resolução, após as explicações recebidas, ficou simples.
i) Como está informado que se trata de sen²(x) que é maior ou igual a 1/4, então teremos que:
sen²(x) ≥ 1/4 ------- isolando sen(x), teremos:
sen(x) ≥ ± √(1/4) ---- como √(1/4) é igual a "1/2", teremos:
sen(x) ≥ ± 1/2
Agora note que: se temos uma inequação da forma sen(a) ≥ ± k , então tem-se que: -k ≤ sen(a) ≥ k
Logo, tendo o que se viu aí em cima como parâmetro, então, se temos sen(x) ≥ ± 1/2, então teremos isto:
- 1/2 ≤ sen(x) ≥ 1/2
i) Note que temos aí em cima duas desigualdades: uma com: -1/2 ≤ sen(x) e outra com: sen(x) ≥ 1/2
ii) Vamos trabalhar com a primeira hipótese, que é esta:
-1/2 ≤ sen(x) --- ou, o que é a mesma coisa:
sen(x) ≥ -1/2
Agora note que no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π] o sen(x) é igual a "-1/2" nos arcos (ou ângulos) de 210º (ou 7π/6) e de 330º (ou 11π/6). Então o arco "x" estará no seguinte intervalo, ou seja, teremos para esta primeira hipótese:
7π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ----- Esta é a hipótese que vale para sen(x) ≥ -1/2
iv) Agora vamos para a segunda hipótese, que é esta:
sen(x) ≥ 1/2
Veja que o seno é igual a "1/2", no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], nos arcos (ou ângulos) de 30º (ou π/6) e de 150º (ou 5π/6). Então o arco "x" estará no seguinte intervalo, ou seja, teremos para esta segunda hipótese:
π/6 ≤ x 5π/6 ----- Esta é a hipótese que vale para sen(x) ≥ 1/2 .
v) Assim, resumindo, temos que o conjunto-solução para o arco "x" contido na expressão dada [sen²(x) ≥ 1/4], e no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], será este:
π/6 ≤ x ≤ 5π/6; ou 7π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ---- Esta é a resposta.
Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = [π/6; 5π/6] ∪ [7π/6; 11π/6].
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir."
Pronto. A transcrição é a que está posta aí em cima.
OK?
Adjemir.
Veja, Ulisses, que esta mesma questão nós já resolvemos para outro usuário (para o Pablo). Então iremos apenas transcrever a resposta que demos para o Pablo, ok?
Lá vai a transcrição:
"Vamos lá.
Veja, Pablo, que a resolução, após as explicações recebidas, ficou simples.
i) Como está informado que se trata de sen²(x) que é maior ou igual a 1/4, então teremos que:
sen²(x) ≥ 1/4 ------- isolando sen(x), teremos:
sen(x) ≥ ± √(1/4) ---- como √(1/4) é igual a "1/2", teremos:
sen(x) ≥ ± 1/2
Agora note que: se temos uma inequação da forma sen(a) ≥ ± k , então tem-se que: -k ≤ sen(a) ≥ k
Logo, tendo o que se viu aí em cima como parâmetro, então, se temos sen(x) ≥ ± 1/2, então teremos isto:
- 1/2 ≤ sen(x) ≥ 1/2
i) Note que temos aí em cima duas desigualdades: uma com: -1/2 ≤ sen(x) e outra com: sen(x) ≥ 1/2
ii) Vamos trabalhar com a primeira hipótese, que é esta:
-1/2 ≤ sen(x) --- ou, o que é a mesma coisa:
sen(x) ≥ -1/2
Agora note que no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π] o sen(x) é igual a "-1/2" nos arcos (ou ângulos) de 210º (ou 7π/6) e de 330º (ou 11π/6). Então o arco "x" estará no seguinte intervalo, ou seja, teremos para esta primeira hipótese:
7π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ----- Esta é a hipótese que vale para sen(x) ≥ -1/2
iv) Agora vamos para a segunda hipótese, que é esta:
sen(x) ≥ 1/2
Veja que o seno é igual a "1/2", no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], nos arcos (ou ângulos) de 30º (ou π/6) e de 150º (ou 5π/6). Então o arco "x" estará no seguinte intervalo, ou seja, teremos para esta segunda hipótese:
π/6 ≤ x 5π/6 ----- Esta é a hipótese que vale para sen(x) ≥ 1/2 .
v) Assim, resumindo, temos que o conjunto-solução para o arco "x" contido na expressão dada [sen²(x) ≥ 1/4], e no intervalo dado [0 ≤ x ≤ 2π], será este:
π/6 ≤ x ≤ 5π/6; ou 7π/6 ≤ x ≤ 11π/6 ---- Esta é a resposta.
Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:
S = [π/6; 5π/6] ∪ [7π/6; 11π/6].
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir."
Pronto. A transcrição é a que está posta aí em cima.
OK?
Adjemir.
adjemir:
Agradecemos à moderadora Camponesa pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
E aí, Ulisses, era isso mesmo o que você estava esperando?
Respondido por
1
Boa tarde!!
sin² x ⩾ 1/4
Como sugere o exercício, t = sin x:
t² ⩾ 1/4
t ⩾ ± √1/4
t ⩾ ± 1/2
Ou seja:
-1/2 ⩾ t ⩾ 1/2
Como o exercício quer que sin x seja maior ou igual que 1/2 e menor ou igual que -1/2 tem-se:
Quando x é positivo:
sin π/6 = 1/2
sin 6π/5 = 1/2
π/6 ⩽ x ⩽ 5π/6
Quando x é negativo:
sin 6π/7 = -1/2
sin 11π/7 = -1/2
7π/6 ⩽ x ⩽ 11π/6
Logo:
x = [π/6,5π/6] ∪ [7π/6,11π/6]
Bons estudos!
sin² x ⩾ 1/4
Como sugere o exercício, t = sin x:
t² ⩾ 1/4
t ⩾ ± √1/4
t ⩾ ± 1/2
Ou seja:
-1/2 ⩾ t ⩾ 1/2
Como o exercício quer que sin x seja maior ou igual que 1/2 e menor ou igual que -1/2 tem-se:
Quando x é positivo:
sin π/6 = 1/2
sin 6π/5 = 1/2
π/6 ⩽ x ⩽ 5π/6
Quando x é negativo:
sin 6π/7 = -1/2
sin 11π/7 = -1/2
7π/6 ⩽ x ⩽ 11π/6
Logo:
x = [π/6,5π/6] ∪ [7π/6,11π/6]
Bons estudos!
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