Resolva a inequação SEN X > 1/2
Soluções para a tarefa
Resposta:
X∈R | 5π/6 + k.2π > x > π/6 + k.2π, com k∈Z
Explicação passo-a-passo:
Olha, até dá pra fazer algebricamente, mas eu prefiro fazer olhando o ciclo trigonométrico.
Sen(x) > 1/2
Sabemos que o seno(30º) é 1/2.
O exercício quer os valores de ângulos que os senos sejam maior que 1/2.
Veja a primeira imagem que fiz. Eu fiz o ciclo trigonométrico, marquei o 30º e o seu seno (1/2). O que está em verde são os SENOS maiores que 1/2, certo?
Mas ele quer saber os ÂNGULOS que dão aqueles senos, observe a figura 2. Os ângulos em azul são possíveis ângulos para a resposta.
Perceba que os ângulos podem ser maiores que 90º e ainda sim terem o seno maior que 1/2 (observe a figura 3).
Porém, até qual ângulo o seno será maior que 1/2? Observe a figura 4 e perceba que se aumentássemos o ângulo depois da parte laranja, o seno começaria a ser menor que 1/2.
Então, para calcularmos esse ângulo, usaremos um truque: como se fosse um espelho, do 0 até o 30º aumentou 30º certo? Fazendo isso simetricamente, temos que ali do 180º até o ângulo que queremos, diminuiu 30º (observe a figura 5).
180 - 30 = 150º.
Então, os ângulos para os quais os senos são maiores que 1/2, estão entre 30 e 150º.
150º > x > 30º
Não vamos esquecer que os ângulos podem ir aumentando (conforme vai dando voltas no ciclo trigonométrico). Para cada volta no ciclo, temos 360º. Mas podem ser quantas voltas que sejam, 1, 2, 5, 1000.. Pode ser até uma volta "negativa" (que seria uma volta no sentido horário). Chamaremos esse valor de k (um valor inteiro).
Uma volta = +360º
K voltas = k.360º
Temos então: 150º+ k.360º > x > 30º + k.360º com k∈Z.
Acho que normalmente usa-se em pi rad e não em graus... convertendo temos...
5π/6 + k.2π > x > π/6 + k.2π
Resposta final:
X∈R | 5π/6 + k.2π > x > π/6 + k.2π, com k∈Z
Lendo: x pertence aos reais tal que ele é menor que 5π/6 + k.2π e maior que π/6 + k.2π, com k pertencente aos inteiros.
