Question

Resolva a inequação quociente (preciso dos gráficos com os intervalos)
$\frac{x-3}{x-2} \leq x-1$

Answer 1

Resolver a inequação-quociente

$\mathtt{\dfrac{x-3}{x-2}\le x-1}\quad\quad\texttt{com }\mathtt{x\ne 2}$


Há várias formas para proceder com a resolução. Segue uma delas:


Passe todos os termos para o mesmo membro da desigualdade:

$\mathtt{\dfrac{x-3}{x-2}-(x-1)\le 0}$


Agora, reduza todos os termos ao mesmo denominador:

$\mathtt{\dfrac{x-3}{x-2}-\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-2}\le 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x-3-(x-1)(x-2)}{x-2}\le 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x-3-(x^2-2x-x+2)}{x-2}\le 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x-3-(x^2-3x+2)}{x-2}\le 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x-3-x^2+3x-2}{x-2}\le 0}$

$\mathtt{\dfrac{-x^2+4x-5}{x-2}\le 0}$


Multiplicando os dois lados por (– 1), o sentido da desigualdade se inverte:

$\mathtt{\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}\ge 0}$


Vamos completar os quadrados no numerador. Adicione e subtraia 5 ao numerador do lado esquerdo:

$\mathtt{\dfrac{x^2-4x+4-4+5}{x-2}\ge 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{(x^2-4x+4)+1}{x-2}\ge 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{(x-2)^2+1^2}{x-2}\ge 0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge 0\quad\quad(i)}$


sendo

$\mathtt{f(x)=(x-2)^2+1^2~~e~~g(x)=x-2.}$

________

Vamos estudar os sinais de $\mathtt{f}$ e $\mathtt{g}:$

•   $\mathtt{f(x)=(x-2)^2+1^2}$

Observe que $\mathtt{f}$ é a soma de dois quadrados, e portanto nunca será negativa – nesse caso em especial o valor de $\mathtt{f}$ nunca será menor que 1:

$\begin{array}{cc} \mathtt{f(x)}~&~\mathtt{\underline{++++}\underset{2}{\circ}\underline{++++}} \end{array}$


•   $\mathtt{g(x)=x-2}:$

Aqui, temos que

$\begin{cases} \mathtt{g(x)>0}&\texttt{se }\mathtt{x>2}\\ \mathtt{g(x)<0}&\texttt{se }\mathtt{x<2} \end{cases}$


$\begin{array}{cc} \mathtt{g(x)}~&~\mathtt{\underline{----}\underset{2}{\circ}\underline{++++}} \end{array}$

________

Sendo assim,

$\begin{array}{cc} \mathtt{f(x)}~&~\mathtt{\underline{++++}\underset{2}{\circ}\underline{++++}}\\\\ \mathtt{g(x)}~&~\mathtt{\underline{----}\underset{2}{\circ}\underline{++++}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{f(x)}{g(x)}}~&~\mathtt{\underline{----}\underset{2}{\circ}\underline{++++}} \end{array}$


Como queremos que o quociente não seja negativo, o intervalo de interesse é

$\mathtt{x>2}$


$\begin{array}{cc} \mathtt{S}~&~\mathtt{\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{2}{\circ}\underline{******}} \end{array}$

(intervalo aberto à esquerda)

_________


Conjunto solução:  $\mathtt{S=(2,+\infty).}$