Question

Resolva a inequação quociente (preciso dos gráficos com os intervalos)

$\frac{ x^{2}-2x-8 }{ x^{2}-6x+9 } \geq 0$

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte inequação-quociente: (x²-2x-8)/(x²-6x+9) ≥ 0 , cujo resultado deverá ser MAIOR ou IGUAL a zero, e que é constituída pelo quociente de duas equações do 2º grau, que são: f(x) = x²-2x-8 e g(x) = x² - 6x + 9.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas (vide as instruções de variação de sinais em outra questão sua para equações do 2º grau). Finalmente, daremos os intervalos do domínio da inequação original.
Assim:

f(x) = x²-2x-8 ---> raízes: x²-2x-8 = 0 ---> x' = -2 e x'' = 4
g(x) = x²-6x+9 --> ´raízes: x²-6x+9 = 0 ----> x' = x'' = 3 .

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas, em função de suas raízes. Depois daremos o domínio da inequação original. Assim:

a) f(x) = x²-2x-8 ...+ + + + + + (-2)- - - - - - - - - - - - - - - (4)+ + + + + + + + + +
b) g(x) = x²-6x+9..+ + + + + + + + + + + + (3) + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a / b . . . . . . . .  + + + + + + (-2)- - - - - - (3)- - - - - - -(4)+ + + + + + + + + +

Como queremos que o quociente de f(x) por g(x) seja positivo ou zero (maior ou igual a zero), então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS ou zero no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo de domínio da inequação original dada será:

x ≤ -2 ou x ≥ 4

Mas aí você poderá perguntar: mas se x = 3 a expressão também não zeraria?
Resposta: veja que o "3" é raiz da equação do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser igual a "3" estaríamos admitindo uma divisão por zero, pois note que se x = 3 a equação do denominador seria zero. E não existe divisão por zero. Por isso é que nem sequer mencionamos o "3" no domínio da inequação original, certo?

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que dá no mesmo:

D = {x ∈ R | x ≤ -2 ou x ≥ 4}

Ou, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo o que é a mesma coisa:

D = (-∞; -2] ∪ [4; +∞)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.