Question

Resolva a inequação produto

(x + 4) . (x – 4) < 0

Answer 1

Inequações - produto é quando se tem a multiplicação de duas ou mais expressões (podemos chamar de funções), podendo ser: maior, menor, maior ou igual, ou menor ou igual a zero

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$\large\begin{array}{l}\underbrace{Veja:} \\ \\ \sf (x+4)\cdot(x-4) < 0 \end{array}$

Temos uma inequação - produto, pois é a multiplicação de duas expressões, vamos chamá-las de funções, f(x) e g(x), e tudo isso é menor que zero

• A primeira coisa que devemos fazer é o estudo do sinal pra cada função. Para que possamos fazer o estudo do sinal, iguale a função a zero e extraia as raízes:

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$\boxed{\boxed{\begin{array}{c}\\ \sf f(x)=x+4\quad e\quad g(x)=x-4 \\ \\ \sf x+4=0\quad e\quad x-4=0 \\ \\ \!\!\!\!\!\sf x=-4\quad e\quad x=4 \\ \\ \end{array}}}$  

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Em f(x):

• f(x) > 0 se x > – 4
• f(x) < 0  se x < – 4
• f(x) = 0 se x = – 4

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Em g(x):

• g(x) > 0 se x > 4
• g(x) < 0  se x < 4
• g(x) = 0 se x = 4

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Vemos que em f(x)

=>  para valores maiores que – 4 a função é positiva, para valores menores que – 4 a função é negativa, e quando o valor é – 4 a função é igual a 0

Vemos que em g(x):

=> para valores maiores que 4 a função é positiva, para valores menores que 4 a função é negativa, e quando o valor é 4 a função é igual a 0

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Dessa forma vamos escrever esse resultado nas retas

• Na reta f(x) coloque o – 4 com a bolinha aberta pois ele não pertence à função
• Na reta g(x) coloque o 4 (mais na direita do – 4) com a bolinha aberta também
• Por fim, na reta do produto de f(x) e g(x), faça o jogo de sinais observando as outras duas retas

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            $\large\begin{array}{l}\sf f(x)\quad\: \!\overset{-------}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\!\underset{-4~~}{\circ}\!\!\!\!\!\overset{++++++++++++++++++++}{\textsf{---------------------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

           $\large\begin{array}{l}\sf g(x)\quad\: \!\overset{-----------------------}{\textsf{-----------------------------------------}}\!\!\:\!\:\!\underset{4}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

  $\large\begin{array}{l}\sf f(x)\cdot g(x)\quad\: \!\overset{+++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\!\underset{-4~~}{\circ}\!\!\!\!\!\overset{--------}{\textsf{--------------}}\!\!\!\:\!\overset{\:\!\:\!-------}{\textsf{--------------}}\!\!\:\!\:\!\underset{4}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

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Como a inequação possui a desigualdade menor que zero, os valores de x precisa ser qualquer número negativo, então, onde tem os negativos na reta do produto é a nossa resposta:

Nos negativos vemos valores maiores que – 4,  e valores menores que 4, assim o conjunto solução é:

$\large\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\ \quad \sf S=\Big\{~x\in\mathbb{R}~/~x > -4\quad e \quad x < 4~\Big\}\quad \\ \\\end{array}}}$

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Nota: Caso esteja pelo App, visualize a resposta no navegador modo desktop! (pelo celular)

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Att. Nasgovaskov

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