Question

Resolva a inequação produto e escreva a solução final
a)(x^2-5x+6)•(x^2-7x+6)<0

b)x^2+2x-8/x^2-6x+5>0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luizfilho, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Pede-se para dar o conjunto-solução das seguintes inequações e que vamos tentar resolver de forma bem passo a passo para um melhor entendimento.

a) (x²-5x+6)*(x²-7x+6) < 0.

Veja que temos aí em cima o produto de duas equações do 2º grau, cujo resultado terá que ser negativo (ou menor do que zero).
Temos: f(x) = x²-5x+6; e temos g(x) = x²-7x+6.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações dadas. Depois, em função de suas raízes, veremos qual é a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, daremos o conjunto-solução.
Assim teremos;

f(x) = x²-5x+6 ---> raízes: x²-5x+6 = 0 ---> x'= 2; x'' = 3
g(x) = x²-7x+6 ---> raízes: x²-7x+6 = 0 ---> x' = 1; x''= 6.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas. Assim:

a) f(x) = x²-5x+6 ...+ + + + + + + + + + + (2) - - - - - -  (3) + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x²-7x+6... + + + + + (1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -(6) + + + + +
c) a*b....................+ + + + + +(1) - - - - -  (2) + + + + +(3) - - - - - - (6) + + + + +

Como queremos que o produto entre f(x) e g(x) seja negativo (ou menor do que zero), então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" do gráfico acima, que nos o resultado do produto entre f(x) e g(x). Assim, o conjunto-solução para a inequação do item "a" será este:

1 < x < 2 , ou:  3 < x < 6  --- Esta é a resposta para a inequação do item "a".

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | 1 < x < 2, ou: 3 < x < 6}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

S = (1; 2) ∪ (3; 6).

b) (x²+2x-8)/(x²-6x+5) > 0.

Aqui temos uma inequação formada pelo quociente entre duas equações do 2º grau, sendo: h(x) = x²+2x-8 e j(x) = x²-6x+5) cujo quociente entre elas terá que ser positivo (ou maior do que zero).
Então vamos fazer a mesma coisa que fizemos para as inequações do item "a". Vamos encontrar as raízes de cada uma das equações do item "b". Assim:

h(x) = x²+2x-8 ---> raízes: x²+2x-8 = 0 ---> x' = -4; e x'' = 2.
j(x) = x²-6x+5 ---> raízes: x²-6x+5 = 0 ---> x' = 1; e x'' = 5.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações. Assim:

a) h(x) =  x²+2x-8... + + + + + + +(-4) - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + + +
b) j(x)  = x²-6x+5 .... + + + + + + + + + + + + (1)- - - - - - - - - - - - - - (5) + + + + + + + + + +
c) a/b....................... + + + + + + (-4) - - - - - (1) + + + ++(2) - - - - - -(5) + + + + + + + + +

Como queremos que o resultado da divisão de h(x) por j(x) seja positivo (ou maior do que zero), então só nos vai interessar onde tiver sinal de mais no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de h(x) por j(x). Assim, o intervalo que nos dá o conjunto-solução será este:

x < -4; ou 1 < x < 2; ou x > 5 ----- Esta é a resposta para a inequação do item "b".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa;

S = {x ∈ R | x < -4; ou 1 < x < 2; ou x > 5}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -4) ∪ (1; 2) ∪ (5; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.