Question

Resolva a inequação modular: |x+2|-|3x-2|>=x-4.

Answer 1

Para resolver equações modulares, precisamos primeiro encontrar os valores dos módulos que dependem do valor de x..

Para |x+2|, temos que se x = -2, temos o resultado 0. Isto significa que para valores menores que - 2, o valor dentro do módulo será negativo, e para valores maiores que -2, o valor dentro do módulo será positivo. Então, temos duas situações:
Se x < -2, |x+2| = -x - 2
Se x > -2, |x+2| = x + 2

O mesmo ocorre para |3x - 2|:
Se x > 2/3, |3x-2| = 3x-2
Se x < 2/3, |3x-2| = -3x +2

Temos então 3 possibilidades para a equação:

Se x < -2: |x+2| = -x - 2 e |3x-2| = -3x +2
-x-2 - (-3x+2) ≥ x-4
-x-2+3x-2 ≥ x-4
2x - 4 ≥ x -4
x ≥ 0

Se -2 < x < 2/3: |x+2| = x + 2 e |3x-2| = -3x +2
x+2 - (3x+2) ≥ x-4
x+2-3x-2 ≥ x-4
-3x ≥ -4
x ≤ 4/3

Se x > 2/3: |x+2| = x + 2 e x > 2/3, |3x-2| = 3x-2
x + 2 - (3x-2) ≥ x-4
x+2-3x+2 ≥ x - 4
-3x + 4 ≥ -4
-3x ≥ -8
x ≤ 8/3

Temos das três possibilidades, que:
x ≥ 0
x ≤ 4/3
x ≤ 8/3

Note que 4/3 é menor que 8/3, então como x deve ser menor que 4/3, a restrição ≤ 8/3 é redundante. Portanto 0 ≤ x ≤ 4/3