Question

Resolva a inequação
log3(x²-x) < 1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte inequação:

log₃ (x²-x) < 1

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Antes vamos ver quais serão as condições de existência. Como só existe logaritmo de número positivos (>0), então vamos impor que o logaritmando (x²-x) seja positivo (>0). Assim:

x² - x > 0

Vamos resolver a equação x²-x = 0 para encontrar suas raízes. Assim:

x² - x = 0 ---- colocando-se "x" em evidência, teremos:
x*(x - 1) = 0 ---- note que temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0

ou
x-1 = 0 ---> x'' = 1.

Assim, como se vê, "x" não poderá ser nem "0" nem "1", pois se "x" assumir esses valores iremos um logaritmando igual ar "0"  e isso não existe, pois só há logaritmos de números positivos (>0).
Vamos, então, ver qual serão os valores que fazem com que a função x²-x > 0, analisando a variação de sinais dela em função de suas raízes. Assim, teremos:

x² - x > 0 ... + + + + + (0) - - - - - - -  (1) + + + + + + +  .

Assim, para que a função dada seja positiva (>0) então "x" deverá variar nos intervalos onde tem sinal de MAIS no gráfico acima. Logo, a condição de existência será esta:

ou x < 0, ou x > 1  ------ Estas são as condições de existência.

ii) Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₃ (x²-x) < 1

Note que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por log₃ (3), pois log₃ (3) = 1. Então ficaremos assim:

log₃ (x²-x) < log₃ (3)

Agora note isto: como as bases são iguais (tudo é base "3"), então poderemos comparar os logaritmandos. E, na comparação dos logaritmandos, considerando que a base é maior do que "1" (a base é "3", logo é maior do que "1"), então o sentido da desigualdade permanecerá o mesmo (ou seja, permanecerá com o sentido de <. Observação: se as bases estivessem entre "0" e "1", então o sentido da desigualdade mudaria na comparação dos logaritmandos: o que fosse < passaria para > e vice-versa, ok?) . Assim, repetindo: como as bases são as mesmas e são maiores do que "1", então o sentido da desigualdade permanece na comparação dos logaritmandos. Assim, teremos isto:

x² - x < 3 ----- passando "3" para o 1º membro, teremos:
x² - x - 3 < 0

Agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função das suas raízes. E, para encontrar as raízes da expressão acima, vamos igualá-la a zero. Logo:

x² - x - 3 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = (1-√13)/2 ---- veja que isto dá mais ou menos :"-1,303"
x'' = (1+√13)/2 --- veja que isto dá mais ou menos: "2,303"

Agora vamos estudar a variação de sinais da equação acima:

x² - x - 3 < 0 .... + + + + + + (1-√13)/2  - - - - - - - - - (1+√13)/2 + + + + + + + 

Como queremos que a função seja MENOR do zero, então só nos vai interessar onde sinal de MENOS no gráfico acima e assim, teríamos que "x" estaria no seguinte intervalo:

(1-√13)/2 < x < (1+√13)/2.

Contudo, ainda teremos que levar em conta as condições de existência que, como já vimos seria esta: x < 0 ou x > 1.
Então vamos incluir as condições de existência no gráfico acima. Marcaremos o que vale para cada uma das expressões com o símbolo ///////. E o conjunto-solução será a intersecção entre elas que marcaremos com o símbolo ||||||||||. Assim:

x² - x - 3 < 0..._________(1-√13)/2) / / / / / / / / / / / / / / / / / (1+√13)/2__________
x<0 ou x>1... / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (0)____(1) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 
Intersecção.. _________(1-√13)/2| | | | | | | | |(0)____(1)| | | | | (1+√13)/2__________

Assim, como você viu, a intersecção ficou entre os seguintes intervalos abertos:

(1-√13)/2 < x < 0 , ou 1 < x < (1+√13)/2  ---- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução assim, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | (1-√13)/2 < x < 0 , ou 1 < x < (1+√13)/2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser representado assim, o que dá no mesmo:

S = ](1-√13)/2;  0[  ∪ ]1; (1+√13)/2[.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.