Question

Resolva a inequação:log1/2 (3x+5)>3

Answer 1

$\bullet\;\;$ Condição de existência do logaritmo:

O logaritmando só pode ser um número positivo. Portanto, devemos ter

$3x+5>0\\ \\ 3x>-5\\ \\ x>-\dfrac{5}{3}$

$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação:

$\mathrm{\ell og}_{\frac{1}{2}\,}(3x+5)>3\\ \\ \\ \mathrm{\ell og}_{\frac{1}{2}\,}(3x+5)>\mathrm{\ell og}_{\frac{1}{2}}\left({\dfrac{1}{2}} \right )^{3}\\ \\ \\ \mathrm{\ell og}_{\frac{1}{2}\,}(3x+5)>\mathrm{\ell og}_{\frac{1}{2}\,}\dfrac{1}{8}$


Como a base do logaritmo é $\dfrac{1}{2}$ e 

$0<\dfrac{1}{2}<1$

o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos:

$3x+5<\dfrac{1}{8}\\ \\ \\ 3x<\dfrac{1}{8}-5\\ \\ \\ 3x<\dfrac{1-40}{8}\\ \\ \\ 3x<-\dfrac{39}{8}\\ \\ \\ x<-\dfrac{39}{8}\cdot \dfrac{1}{3}\\ \\ \\ x<-\dfrac{13}{8}$


Combinando a solução encontrada com o a condição de existência, devemos ter

$x>-\dfrac{5}{3}\;\text{ e }\;x<-\dfrac{13}{8}\\ \\ \\ -\dfrac{5}{3}<x<-\dfrac{13}{8}$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-\dfrac{5}{3}<x<-\dfrac{13}{8}\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos,

$S=\left(-\dfrac{5}{3},\,-\dfrac{13}{8} \right )$