Question

resolva a inequação log (2x-1) na base x <= 2, não estou entendo porq o resultado é x>1 e não 1/2<x<1 ou x>1

Answer 1

Olá Jordana.



Primeiro vamos checar a condição de existência do logaritmando e da base:


$\mathsf{\ell og_x(2x-1)}\\\\\\\mathsf{C.E\begin{cases}\mathsf{2x-1\ \textgreater \ 0~\Rightarrow x\ \textgreater \ \dfrac{1}{2}}\\\mathsf{x\ \textgreater \ 0}\\\mathsf{x\neq1}\end{cases}}\\\\\\\\\mathsf{C.E=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ \textgreater \ \dfrac{1}{2}~~e~~x\neq1\}}$


Vamos agora transformar o outro lado da desigualdade em um logaritmo para poderemos igualar os logaritmandos:


$\mathsf{\ell og_x(2x-1) \leq 2\cdot \ell og_xx}\\\\\mathsf{\ell og_x(2x-1)\leq\ell og_x(x^2)}\\\\\mathsf{2x-1 \leq x^2}\\\\\\\\\mathsf{x^2-2x+1 \geq 0}\\\\\\\mathsf{\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot1}\\\mathsf{\Delta=4-4}\\\mathsf{\Delta=0~\gets~Nesses~casos~existe~uma~unica~raiz}\\\\\\\mathsf{\geq=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1}}\\\\\mathsf{x\geq\dfrac{2}{2}}\\\\\mathsf{x\geq1}$

$\mathsf{x \geq 1}~~e~~\mathsf{x\geq1}$

Precisamos agora fazer a intersecção entre a condição de existência (C.E) e a o valor encontrado para x:


$\mathsf{C.E\qquad\qquad\qquad_{\underline{\qquad\qquad\qquad}}\underset{\frac{1}{2}}\circ{_\underline{********}}\underset1\circ{_\underline{*************}}_\blacktriangleright}}}\\\\\mathsf{x\geq1\qquad~~~~\qquad{_\underline{\qquad\qquad\qquad}}{_\underline{\qquad\qquad~}}\underset1\bullet{_\underline{*************}}_\blacktriangleright}}}}\\\\\mathsf{\cap\qquad\qquad\qquad\quad{_\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~}}\underset1\circ{_\underline{*************}}_\blacktriangleright}$


$\boxed{\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x>1\}}}$


Dúvidas? comente.