Question

Resolva a inequação LaTeX: \textstyle \sin^2 x \geqslant \frac{1}{4}sin2x⩾14 com LaTeX: 0 \leqslant x \leqslant 2\pi0⩽x⩽2π. (sugestão: faça LaTeX: t = \sin xt=sinx e resolva LaTeX: \textstyle t^2 \geqslant \frac{1}{4}t2⩾14)

Answer 1

Utilizando a sugestão dada no enunciado, se substituirmos sen x por t, podemos resolver uma equação quadrática, que é mais fácil que a trigonométrica.
$sen x = t \\ \\ t^2 \geq \dfrac{1}{4} \\ \\ t^2 \geq \sqrt{ \dfrac{1}{2} } \\ \\ |t| \geq \dfrac{1}{2}$

Portanto, o módulo de sen x deve ser maior ou igual a 1/2:
|sen x| ≥ 1/2

Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x:$x=sen^{-1}( \dfrac{1}{2} )$

O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, para 0 ≤ x ≤ π, e 7π/6 e 11π/6, para π < x ≤ 2π, pela tabela trigonométrica. Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6 e 7π/6 ≤ x ≤ 11π/6