Question

Resolva a inequação em R

$\dfrac{x}{x-2}\ \textless \ 3$

Só responda se souber

Answer 1

De início, consideremos a função

$\sf f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

de domínio D = ℝ \ {2} (reais com exceção do número dois). O objetivo aqui é descobrir quais são todos os valores reais de x que satisfazem f(x) < 3, isto é,

$\sf \dfrac{x}{x-2}<3\qquad(\:I\:)$

Do domínio de f(x), sabemos que x é diferente de 2, ou seja, x – 2 ≠ 0. Posto isto, a inequação ( I ) torna-se equivalente a

$\sf\dfrac{x}{x-2}-3<0\\\\\\ \sf \dfrac{x}{x-2}-3\cdot 1<0\\\\\\ \sf\dfrac{x}{x-2}-3\cdot\dfrac{x-2}{x-2}<0\\\\\\ \sf\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{3(x-2)}{x-2}<0\\\\\\ \sf \dfrac{x-3\:\!(x-2)}{x-2}<0\\\\\\ \sf\dfrac{x-3\:\!x+6}{x-2}<0\\\\\\ \sf\dfrac{-2\:\!x+6}{x-2}<0\\\\\\ \sf\dfrac{-2\:\!(x-3)}{x-2}<0\\\\\\(-2)\cdot\dfrac{x-3}{x-2}<0\\\\\\ \sf\dfrac{x-3}{x-2}>0\qquad(\:II\:)$

Note que os valores reais que satisfazem a inequação ( I ) são os mesmos que satisfazem ( II ), pois, como vimos, elas são equivalentes para todo x em D. A fim de estudar com mais facilidade os sinais do quociente de binômios lineares (função racional) no primeiro membro de ( II ), vamos agora analisar separadamente os sinais das funções afins g(x) = x – 3 (numerador) e h(x) = x – 2 (denominador).

$\begin{cases}\sf g(x\:\!)>0\ \ \rightarrow\ \ x>3\\\\ \sf g(x\:\!)<0\ \ \rightarrow\ \ x<3\end{cases} \\\\\\\\\begin{cases}\sf h(x\:\!)>0\ \ \rightarrow\ \ x>2\\\\ \sf h(x\:\!)<0\ \ \rightarrow\ \ x<2\end{cases}$

A partir dos resultados obtidos acima, construímos o seguinte quadro de sinais para g(x) e h(x):

$\large\begin{array}{l}\sf g(x)\quad\: \!\overset{\!------------------}{\textsf{--------------------------------}}\!\!\:\!\underset{3}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!\!\!\:\!++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\:\!\:\!\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\sf h(x)\quad\:\:\! \!\overset{------}{\textsf{-----------}}\!\!\:\!\underset{2}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!\!\!+++++++++++++++++++\!\!}{\textsf{---------------------------------\!}}\!\!\!\:\!\:\!\:\!\:\!\!\:\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

Em seguida, efetuando a “divisão” dois sinais de g(x) e h(x) em cada um dos intervalos considerados, encontraremos:

$\large\begin{array}{l}\sf \dfrac{g(x)}{h(x)}\quad\: \!\overset{+++++++}{\textsf{------------}}\!\!\:\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{-----------\!\!}{\textsf{--------------------\!\!\:\!}}\underset{3}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!\!\!+++++++}{\textsf{-------------}}\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

, donde concluímos facilmente que f(x) < 3 para x < 2 ou x > 3.

Resposta: o conjunto solução S da inequação é representado por

$\boxed{\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\\ \sf S=\big\{x\,\in\,\mathbb{R}\,|\ \,x<2\ \ ou\ \ x>3\big\}\\ \\ \end{array}}}}$

                         

, ou ainda

$\boxed{\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\\ \sf S=\big]\!-\infty\,\:\!\:\!,\:\!\:\!2\:\!\:\!\big[\ \cup\ \big]\:\!3\,\:\! , \:\!\:\!+\:\!\:\!\:\!\:\!\infty\big[\\ \\ \end{array}}}}$