Question

Resolva a inequação (com resolução por favor).

Answer 1

$\dfrac{\left(2x-3 \right )\cdot \left(x^{2}+1 \right )}{x^{2}-\frac{9}{4}} \leq 0$


Multiplicando por $4$ o numerador e o denominador do lado esquerdo da desigualdade, temos

$\dfrac{4\cdot \left(2x-3 \right )\cdot \left(x^{2}+1 \right )}{4\cdot \left(x^{2}-\frac{9}{4} \right )} \leq 0\\ \\ \dfrac{4\cdot \left(2x-3 \right )\cdot \left(x^{2}+1 \right )}{4x^{2}-9} \leq 0\\ \\ \dfrac{4\cdot \left(2x-3 \right )\cdot \left(x^{2}+1 \right )}{\left(2x \right )^{2}-3^{2}} \leq 0\\ \\ \dfrac{4\cdot \left(2x-3 \right )\cdot \left(x^{2}+1 \right )}{\left(2x-3 \right )\cdot \left(2x+3 \right )} \leq 0$


Simplificando o fator comum $\left(2x-3 \right )$ no numerador e no denominador, temos

$\dfrac{4\cdot \left(x^{2}+1 \right )}{2x+3} \leq 0$


Analisando o numerador do lado esquerdo da desigualdade, verificamos que a expressão

$4\cdot \left(x^{2}+1 \right )$

sempre é positiva para qualquer valor de $x$. Sendo assim, o sinal do lado esquerdo vai depender do denominador, ou seja, basta resolver

$2x+3<0\\ \\ 2x<-3\\ \\ x<-\dfrac{3}{2}$


Logo, o conjunto-solução para esta inequação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<-\dfrac{3}{2}\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos para representar o conjunto-solução,

$S=\left(-\infty,\,-\dfrac{3}{2} \right )$