Question

Resolva a inequação.

Answer 1

Resposta:

$x < 2$ ou $3 < x \leq 4$

Alternativamente,

$x \in \left]-\infty, 2 \right[ \cup \left] 3, 4 \left]$

Resolução:

Para que o lado esquerdo seja menor ou igual a 0, basta que os sinais dos termos $(1 - x)$, $(x^2 - 6x + 8)$ e $(-x^2 + 5x - 6)$ sejam tais que a multiplicação resulte em um sinal negativo, ou que um dos dois primeiros seja 0; não esqueça que o termo do denominador não pode ser 0!

Façamos um estudo de sinais para cada um dos termos.

i)

$\text{A} = (1 - x)\\\\x < 1: \text{A} > 0\\x = 1: \text{A} = 0\\x > 1: \text{A} < 0$

ii)

$\text{B} = (x^2 - 6x + 8) = (x - 4)(x - 2) \\\\x < 2: \text{B} > 0\\x = 2: \text{B} = 0\\2 < x < 4: \text{B} < 0\\x = 4: \text{B} = 0\\x > 4: \text{B} > 0$

iii)

$\text{C} = (-x^2 + 5x - 6) = -(x - 3)(x - 2)\\\\x < 2: \text{C} < 0\\x = 2: \text{C} = 0\\2 < x < 3: \text{C} > 0\\x = 3: \text{C} = 0\\x > 3: \text{C} < 0$

Feito o estudo de sinais dos termos individuais, precisamos conferir quando $\text{ABC} \leq 0$ para cada um dos intervalos a seguir, tomando cuidado para que $\text{C} \neq 0$:

$x < 1: \text{ABC} < 0\\x = 1: \text{ABC} = 0, \text{C} \neq 0\\1 < x < 2: \text{ABC} < 0 \\x = 2: \text{ABC} = 0, \text{C} = 0 \\2 < x < 3: \text{ABC} > 0\\x = 3: \text{ABC} = 0, \text{C} = 0\\3 < x < 4: \text{ABC} < 0\\x = 4: \text{ABC} = 0, \text{C} \neq 0\\x > 4: \text{ABC} > 0$

A união dos casos que nos interessam, então, é

$x < 2$, ou $3 < x \leq 4$

Em notação de intervalo,

$x \in \left]-\infty, 2 \right[ \cup \left] 3, 4 \left]$.