Question

resolva a inequação 2x+3/x-1 > 5 no universo dos numeros reais

Answer 1

(2x + 3)/(x - 1) > 5
(2x + 3)/(x - 1) - 5 > 0
(2x + 3)/(x - 1) - 5(x - 1)/(x - 1) > 0
(2x + 3)/(x - 1) + (-5x + 5)/(x - 1) > 0
(2x + 3 - 5x + 5)/(x - 1) > 0
(-3x + 8)/(x - 1) > 0

Zero da função f(x) = -3x + 8 = 0 ⇒ -3x = -8 ⇒ x = 8/3  
Zero da função g(x) = x - 1 = 0 ⇒ x = 1 

f(x) +++++++++++++++++++++++++(8/3)--------------->
g(x) --------------)1(+++++++++++++++++++++++++++>
f(x)/g(x) ---------O+++++++++++++++++O----------------->

Resposta: S = {x ∈ |R 1 < x < 8/3}

Espero ter ajudado.

Answer 2

$\dfrac{2x+3}{x-1}>5~~~~~~(\text{com }x\ne 1)$


Como $x\ne 1\,,$ temos

$x-1\ne 0~~\Rightarrow~~(x-1)^2>0$


Como $(x-1)^2$ é sempre positivo, podemos multiplicar os dois lados da inequação por $(x-1)^2\,,$ sem alterar o sentido da desigualdade:

$\dfrac{2x+3}{x-1}\cdot (x-1)^2>5\cdot (x-1)^2\\\\\\ (2x+3)\,(x-1)>5\,(x-1)^2\\\\ (2x+3)\,(x-1)-5\,(x-1)^2>0$


Colocando o fator comum $(x-1)$ em evidência, temos

$(x-1)\cdot \big[(2x+3)-5\,(x-1)\big]>0\\\\ (x-1)\cdot \big[2x+3-5x+5\big]>0\\\\ (x-1)\cdot (-3x+8)>0\\\\ (x-1)\cdot (-3)\left(x-\frac{8}{3}\right)>0$


Dividindo os dois lados da desigualdade por $-3\,,$ que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

( o sinal > se torna < )

$(x-1)\cdot \left(x-\frac{8}{3}\right)<0~~~~~~\mathbf{(i)}$

_____________________

Encontrando as raízes do polinômio do lado esquerdo de $\mathbf{(i)}:$

$x_{1}=1~~\text{ e }~~x_{2}=\dfrac{8}{3}$


Como queremos que o lado esquerdo seja negativo, devemos ter

$x_1<x<x_2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}1<x<\dfrac{8}{3} \end{array}}$


O conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}:~ 1<x<\frac{8}{3}\right\}$


ou usando a notação de intervalos,

$S=\left]1,\,\frac{8}{3}\right[$