Question

Resolva a inequacao


1/ (х+1)< 2/ (3x-1)​

Answer 1

Resposta:  $\left\{x\in \mathbb{R}:~x < -1\quad\mathrm{ou}\quad \dfrac{1}{3} < x < 3\right\}.$

Explicação passo a passo:

Resolver a inequação

    $\dfrac{1}{x+1} < \dfrac{2}{3x-1}$

• Condição de existência para a solução:

Os denominadores não podem ser zero. Logo, devemos ter

    $x+1\ne 0\quad\mathrm{e}\quad 3x-1\ne 0\\\\\\\Longleftrightarrow\quad x\ne -1\quad\mathrm{e}\quad x\ne \dfrac{1}{3}\qquad\mathrm{(i)}$

Resolvendo a inequação:

    $\dfrac{1}{x+1} < \dfrac{2}{3x-1}$

Isole todas as expressões para o mesmo lado da desigualdade:

    $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{3x-1} < 0$

Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

    $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1\cdot (3x-1)}{(x+1)(3x-1)}-\dfrac{2\cdot (x+1)}{(x+1)(3x-1)} < 0\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \dfrac{3x-1-2x-2}{(x+1)(3x-1)} < 0\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x-3}{(x+1)(3x-1)} < 0\qquad\mathrm{(ii)}$

Temos acima uma inequação-quociente. Vamos montar o quadro de sinais:

           $\begin{array}{cl} x-3&\qquad\quad\overset{--------------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\textsf{------}\!\!\underset{\frac{1}{3}}{\circ}\!\!\textsf{-----------}}\!\!\overset{0}{\underset{3}{\bullet}}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\blacktriangleright\\\\ x+1&\qquad\quad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\overset{0}{\underset{-1}{\circ}}\!\!\!\overset{++++++++++++++}{\textsf{------}\!\!\underset{\frac{1}{3}}{\circ}\!\!\textsf{-----------}\!\!\underset{3}{\bullet}\!\!\textsf{---------}}\!\!\blacktriangleright\\\\ 3x-1&\qquad\quad\overset{--------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\textsf{------}}\!\!\overset{0}{\underset{\frac{1}{3}}{\circ}}\!\!\overset{++++++++++}{\textsf{-----------}\!\!\underset{3}{\bullet}\!\!\textsf{---------}}\!\!\blacktriangleright \end{array}$

    $\begin{array}{cl}\dfrac{x-3}{(x+1)(3x-1)}&\quad\overset{---}{\textsf{---------}\!\!\underset{-1}{\circ}}\!\!\overset{+++}{\textsf{------}}\!\!\underset{\frac{1}{3}}{\circ}\!\!\overset{-----}{\textsf{-----------}}\!\!\overset{0}{\underset{3}{\bullet}}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\blacktriangleright\end{array}$

Estamos interessados nos intervalos em que o quociente da inequação (ii) é menor que zero. Logo, a solução é

    $\Longrightarrow\quad x < -1\quad\mathrm{ou}\quad \dfrac{1}{3} < x < 3$

ou em notação de intervalos

    $\Longleftrightarrow\quad x\in\;\big]-\infty,\,-1\big[\;\cup\;\left]-\dfrac{1}{3},\,3\right[.$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!