Question

Resolva a Inequačão, e apresente a solução em forma de intervalos :

$\sf{ 7^{\frac{x + 1}{x - 1}} \div 7^{\frac{x - 1}{x + 1}} < \sqrt{ 343 } }$​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf 7^{\frac{x+1}{x-1}}\div7^{\frac{x-1}{x+1}} < \sqrt{343}$

$\sf 7^{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}} < \sqrt{7^3}$

$\sf 7^{\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{(x+1)\cdot(x-1)}} < 7^{\frac{3}{2}}$

$\sf 7^{\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}} < 7^{\frac{3}{2}}$

$\sf 7^{\frac{4x}{x^2-1}} < 7^{\frac{3}{2}}$

$\sf \dfrac{4x}{x^2-1} < \dfrac{3}{2}$

$\sf \dfrac{4x}{x^2-1}-\dfrac{3}{2} < 0$

$\sf \dfrac{8x-3x^2+3}{2x^2-2} < 0$

$\sf \dfrac{-3x^2+8x+3}{2x^2-2} < 0$

• $\sf -3x^2+8x+3=0$

$\sf \Delta=8^2-4\cdot(-3)\cdot3$

$\sf \Delta=64+36$

$\sf \Delta=100$

$\sf x=\dfrac{-8\pm\sqrt{100}}{2\cdot(-3)}=\dfrac{-8\pm10}{-6}$

$\sf x'=\dfrac{-8+10}{-6}~\rightarrow~x'=\dfrac{2}{-6}~\rightarrow~x'=\dfrac{-1}{3}$

$\sf x"=\dfrac{-8-10}{-6}~\rightarrow~x"=\dfrac{-18}{-6}~\rightarrow~x"=3$

• $\sf 2x^2-2=0$

$\sf 2x^2=2$

$\sf x^2=\dfrac{2}{2}$

$\sf x^2=1$

$\sf x=\pm\sqrt{1}$

$\sf x'=1$

$\sf x"=-1$

Temos que:

$\sf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-1~~~~~~\dfrac{-1}{3}~~~~~~1~~~~~~~3~~$

$\sf -3x^2+8x-3~|~~-~~|~~-~~|~~+~~|~~+~~|~~-~~|$

$\sf 2x^2-2~~~~~~~~~~~~~|~~+~~|~~-~~|~~-~~|~~+~~|~~+~~|$

$\sf \dfrac{-3x^2+8x-3}{2x^2-2}~|~~\green{-}~~|~~+~~|~~\green{-}~~|~~+~~|~~\green{-}~~|$

Logo, $\sf x < -1$ ou $\sf -\dfrac{1}{3} < x < 1$ ou $\sf x>3$

$\sf \red{S=\left]-\infty,-1\right[~\cup~\left]-\dfrac{1}{3},1\right[~\cup~\left]3,+\infty\right[}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

●Inequação

↔Aplicando a propriedade de potenciação: divisão mesma base mantêm-se a base e subtrai-se os expoentes.

$\mathtt{7^{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}~<~7\sqrt{7}}$

↔Obtemos uma inequação exponencial e simplificamos as bases.

$\mathtt{\cancel{7}^{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}~<~\cancel{7}^{\frac{3}{2}}}$

$\mathtt{\dfrac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}~<~\dfrac{3}{2}}$

$\mathtt{\red{\dfrac{4x}{x^2-1}~-~\dfrac{3}{2}~<~0}}$

↔Estamos diante de uma inequação fraccionária vamos achar o domínio de existência:

● DE: x ≠ 1 e x ≠ -1

↔Desenvolvendo a inequação ficamos com:

$\mathtt{\dfrac{-3x^2+8x+3}{2x^2-2}~<~0}$

↔Achar as raízes da inequação no numerador e denominador.

●Numerador:

$\mathtt{-3x^2+8x+3=0~~~(-1)}$

$\mathtt{3x^2-8x-3=0}$

$\mathtt{3x^2-9x+x-3=0}$

$\mathtt{3x(x-3)+(x-3)=0}$

$\mathtt{(3x+1)(x-3)=0}$

$\mathtt{\pink{x_1=~-\dfrac{1}{3}~~v~~x_2=~3}}$

●Denominador:

$\mathtt{2x^2-2=0}$

$\mathtt{x^2=1}$

$\mathtt{x=~\pm\sqrt{1}}$

$\mathtt{\pink{x=~1~~v~~x=~-1}}$

↔Tratando-se de uma inequação fraccionária vamos dividir em quatro casos possíveis:

$\begin{cases} \mathtt{ -3x^2+8x+3<0~~~(I) } \\ \\ \mathtt{2x^2-2>0~~~(II)} \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ -3x^2+8x+3>0~~~(III) } \\ \\ \mathtt{2x^2-2<0~~~(IV)} \end{cases}$

↔Achando a intersecção entre as soluções dos primeiros dois casos:

$\begin{cases} \mathtt{ x \in ]-\infty ; -1[ U ]3 ; +\infty[~} \end{cases}$

↔Achando a intersecção dos dois últimos:

$\begin{cases} \mathtt{ x \in ]-\dfrac{1}{3} ; 1[~} \end{cases}$

⭕Unindo as duas soluções:

↔Solução final:

$\mathtt{\red{ \boxed{\mathtt{x \in ]-\infty; -1[ U ] -\dfrac{1}{3} ; 1[ U ] 3; +\infty[~}}}}$

⭕Espero ter ajudado! :)

↔ Bons estudos!

$\large \blue{ \mid{ \underline{ \overline { \tt Att: \mathbf{JOVIAL :- )}}} \mid}}$