Question

Resolva a fatorial (n+4)! / (n+2)! = 90

Answer 1

O fatorial de um número é o produto entre esse número e todos seus antecessores positivos

$k!=\prod\limits_{i=1}^{k}i=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdot(k-3)\cdot...\cdot2\cdot1$

Podemos reescrever fatoriais da seguinte maneira:

$k!=k\cdot(k-1)!=k\cdot(k-1)\cdot(k-2)!=...$
____________________________

$\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!}=90\\\\\\\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2)!}=90$

Cortando (n + 2)!:

$(n+4)\cdot(n+3)=90\\n^{2}+3n+4n+12=90\\n^{2}+7n+12-90=0\\n^{2}+7n-78=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=7^{2}-4\cdot1\cdot(-78)\\\Delta=49+312\\\Delta=361\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{361}=19\\\\n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7\pm19}{2\cdot1}=\dfrac{-7\pm19}{2}$

Então, temos duas possibilidades para n:

$n'=\dfrac{-7+19}{2}=\dfrac{12}{2}=6\\\\\\n''=\dfrac{-7-19}{2}=-\dfrac{26}{6}=-13$

Como só existe fatorial de números positivos e inteiros, descartamos o resultado negativo, ficando com

$\boxed{\boxed{n=6}}$