Question

Resolva a expressão log₈x + log₈ (5x - 8) = log₈ (14 - x)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Theualves que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica:

log₈ (x) + log₈ (5x-8) = log₈ (14-x)

ii) Primeiro vamos ver quais são as condições de existência. Como já vimos em uma questão anterior sua sobre logaritmos, só existem logaritmos de números positivos. Então vamos impor que cada logaritmando acima seja maior do que zero. Então imporemos isto:

x > 0
5x - 8 > 0 ----> 5x > 8 ---> x > 5/8
14-x > 0 ---> -x > -14 ---> multiplicando-se ambos os membros por "-1":
x < 14 (note que quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era ">" passa pra "<" e vice-versa. Foi o que ocorreu na nossa última expressão.Você notou?).

Então veja que, resumindo, ficamos com:

x > 0; x > 5/8; e x < 14 .
Note que se x > 0 e se x > 5/8, então fica valendo x > 5/8, pois se é maior do que "5/8" já o será maior do que "0".
Logo, então as condições de existência deverão ficar entre "5/8" e "14", ou seja:

5/8 < x < 14 ---- Esta é a condição de existência que deverá ser observada para os valores que "x" obtiver quando estivermos resolvendo a equação logarítmica dada.

iii) Agora que já temos as condições de existência, então vamos resolver a equação dada, que é esta;

log₈ (x) + log₈ (5x-8) = log₈ (14-x) ---- como as bases são as mesmas, então vamos transformar a soma em produto, com o que ficaremos assim:

log₈ (x*(5x-8)) = log₈ (14-x) ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos (note que se temos logₐ (b) = logₐ (c), então b = c). Assim, ficaremos

x*(5x - 8) = 14 - x ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
5x² - 8x = 14 - x ---- passando todo o 2º membro para o 1º, temos;
5x² - 8x - 14 + x = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x² - 7x - 14 = 0 ---- veja: se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = [7 - √329]/10 --- o que dá, aproximadamente, igual a "-1,1"
x'' = [7 + √329]/10 --- o que dá, aproximadamente, igual a "2,5'.

Como, conforme as condições de existência, deveríamos ter que "x" teria que ficar no intervalo "5/8 < x < 14" , então a única raiz válida será a segunda raiz, que é esta, pois é a única que satisfaz às condições de existência:

x = (7 + √329)/10  <--- Esta é a resposta. Ou seja, veja que esta raiz dá, aproximadamente, igual a "2,5", pois: (7+√329)/10 = (7+18,1)/10 = 25,1/10 = 2,5 (bem aproximado).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.