Question

Resolva a expressão:

Answer 1

$\bullet\;\; A=x+\dfrac{y-z}{1+xy}:1-\dfrac{xy-x^{2}}{1+xy}$


A divisão tem prioridade sobre a soma. Então,

$A=x+\left(\dfrac{y-z}{1+xy}:1 \right )-\dfrac{xy-x^{2}}{1+xy}\\ \\ \\ A=x+\left(\dfrac{y-z}{1+xy} \right)-\dfrac{xy-x^{2}}{1+xy}\\ \\ \\ A=x+\dfrac{y-z}{1+xy}-\dfrac{xy-x^{2}}{1+xy}$


Reduzindo todos os termos ao mesmo denominador:

$A=\dfrac{x\cdot (1+xy)}{1+xy}+\dfrac{y-z}{1+xy}-\dfrac{xy-x^{2}}{1+xy}\\ \\ \\ A=\dfrac{x\cdot (1+xy)+y-z-(xy-x^{2})}{1+xy}\\ \\ \\ A=\dfrac{x\cdot (1+xy)+y-z-xy+x^{2}}{1+xy}\\ \\ \\ A=\dfrac{x\cdot (1+xy)+y-z+x\cdot (-y+x)}{1+xy}$


Agrupando os termos que têm o $x$ como fator comum:

$A=\dfrac{x\cdot (1+xy-y+x)+y-z}{1+xy}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\; B=\dfrac{x+4}{x+2}+2:\dfrac{x+8}{x+2}-4\\ \\ \\ B=\dfrac{x+4}{x+2}+\left(2:\dfrac{x+8}{x+2} \right )-4\\ \\ \\ B=\dfrac{x+4}{x+2}+\left(2\cdot \dfrac{x+2}{x+8} \right )-4\\ \\ \\ B=\dfrac{x+4}{x+2}+\dfrac{2\cdot (x+2)}{x+8}-4$


Reduzindo todos os termos ao mesmo denominador, temos

$B=\dfrac{(x+4)\cdot (x+8)}{(x+2)\cdot (x+8)}+\dfrac{2\cdot (x+2)\cdot (x+2)}{(x+2)\cdot(x+8)}-\dfrac{4\,(x+2)\cdot (x+8)}{(x+2)\cdot (x+8)}\\ \\ \\ B=\dfrac{x^{2}+8x+4x+32}{(x+2)\cdot (x+8)}+\dfrac{2\cdot (x^{2}+4x+4)}{(x+2)\cdot(x+8)}-\dfrac{4\,(x^{2}+2x+8x+16)}{(x+2)\cdot (x+8)}\\ \\ \\ B=\dfrac{x^{2}+12x+32}{(x+2)\cdot (x+8)}+\dfrac{2x^{2}+8x+8}{(x+2)\cdot(x+8)}-\dfrac{4x^{2}+40x+64}{(x+2)\cdot (x+8)}\\ \\ \\ B=\dfrac{x^{2}+12x+32+2x^{2}+8x+8-(4x^{2}+40x+64)}{(x+2)\cdot (x+8)}\\ \\ \\ B=\dfrac{x^{2}+12x+32+2x^{2}+8x+8-4x^{2}-40x-64}{(x+2)\cdot (x+8)}$


Agrupando os termos semelhantes, temos:

$B=\dfrac{-x^{2}-20x-24}{(x+2)\cdot (x+8)}\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Então, calculando $A:B,$ temos

$A:B\\ \\ =\dfrac{x\cdot (1+xy-y+x)+y-z}{1+xy}:\dfrac{-x^{2}-20x-24}{(x+2)\cdot (x+8)}\\ \\ \\ =\dfrac{x\cdot (1+xy-y+x)+y-z}{1+xy}\cdot \dfrac{(x+2)\cdot (x+8)}{-x^{2}-20x-24}\\ \\ \\ =\dfrac{[x\cdot (1+xy-y+x)+y-z]\cdot (x+2)\cdot (x+8)}{(1+xy)\cdot (-x^{2}-20x-24)}\\ \\ \\ =\dfrac{[x+x^{2}y-xy+x^{2}+y-z]\cdot (x+2)\cdot (x+8)}{(1+xy)\cdot (-x^{2}-20x-24)}$


Obs.: Acredito não poder mais ser possível simplificar a expressão acima.