Question

Resolva a equação:
z^2+2=iz

Answer 1

Sabendo que Um número complexo Z é dado por :

$\fbox{\displaystyle Z = a + b.i }$

onde :

$a =$ parte real.

$b =$ parte imaginária.

E a unidade imaginária "i" é :

$\fbox{\displaystyle i = \sqrt{-1} }$

se elevarmos ao quadrado temos :

$\fbox{\displaystyle i^2 = -1 }$

vamos para o problema.

Temos o seguinte :

$\fbox{\displaystyle Z^2+2=i.Z }$

Passa o i.z para o lado esquerdo da igualdade, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle Z^2-i.Z+2=0 }$

Agora temos uma equação do 2º grau, então podemos resolver por bhaskara.

$\fbox{\displaystyle Z =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a} }$

no caso :

$a = 1$, $b = -i$,  $c = 2$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle Z =\frac{-(-i) \pm \sqrt{(-i)^2-4.1.2}}{2.1} }$

$\fbox{\displaystyle Z =\frac{-(-i) \pm \sqrt{(-i)^2-4.1.2}}{2.1} \to \ Z = \frac{i \pm \sqrt{(i)^2-8}}{2} }$

$\fbox{\displaystyle Z = \frac{i \pm \sqrt{-1-8}}{2} \to Z = \frac{i \pm \sqrt{-9}}{2} }$

Podemos fazer o seguinte ${\displaystyle \sqrt{-9} = \sqrt{9.(-1)} \to \sqrt{9}.\sqrt{-1} \to 3.i }$

substituindo :

$\fbox{\displaystyle Z = \frac{i \pm 3i }{2} }$

portanto :

$\fbox {\displaystyle Z_1 = \frac{i+3.i }{2} \to Z_1 = \frac{4.i}{2} \to Z_1 = 2.i }$  

e

$\fbox{\displaystyle Z_2 = \frac{i - 3i }{2} \to Z_2 = \frac{-2.i}{2} \to Z_2 = -i }$