Resolva a equação x4-9x³+x²-9x=0
Soluções para a tarefa
Resposta:
x1 = -9
x2 = 0
x3 = i
sendo i do conjunto dos números complexos
Explicação passo-a-passo:
Aplicando o teste da raíz racional, podemos descobrir quais as possíveis raízes REAIS para o polinômio.
Sabedno que a estrutura do polinômio é:
ax^4 + bx³ + cx² + d = 0
x4 - 9x³ + x² - 9x = 0
p(d) = {±1, ±3, ±9} -> possíveis divisores do -9
q(a) = {±1} -> possíveis divisores do 1
p/q = {±1, ±3, ±9} -> possíveis raízes desse polinômio
Dito isso, aplicamos Briot-Rufini para reduzir o polinômio com uma das raízes testadas:
*Coloque os coeficientes (números que acompanham o X)
* o primeiro elemento só é copiado
1°) Multiplique o número que aparece pelo divisor comum (no caso o 0)
2°) Some pelo próximo elemento
3°) Esse se torna seu próximo número
9 | 1 -9 1 -9
1
1 * 9 - 9 = 0
0 * 9 + 1 = 1
1 * 9 -9 = 0 -> resto -> desconsiderar
O novo polinômio formado terá essa cara (uma vez que foi reduzido)
x³ + 0x² + x + 0 ou
x³ + x = 0
Olhando logo de cara, sabemos que -1 é uma raiz pois, substituindo x por -1, seu resultado será 0
p(0) = 0³ + 0 = 0
0 = 0
No Briot-Rufini, somos obrigados a colocar os zeros que aparecem também
0 | 1 0 1 0
1
1 × 0 + 0 = 0
0 × 0 + 1 = 1
1 × 0 + 0 = 0 -> resto -> desconsiderar
Agora, o polinômio tem essa aparência:
x² + 0x + 1 = 0
Depois disso é só aplicar bhaskara, ou função quadrática:
x² + 1 = 0
x² = -1
x = ±√-1
x = i