Question

Resolva a equação x4-5x3+13x2-19x+10=0, sabendo que o número complexo z= 1+2i e uma das suas raízes.

Answer 1

Resolva a equação x4-5x3+13x2-19x+10=0, sabendo que o número complexo z= 1+2i e uma das suas raízes.
atenção ???!!!!!!!!
COMO uma das RAIZES deu NÚMERO COMPLEXO
(melhor) FATORAR

x⁴ - 5x³ + 13x² - 19x + 10 = 0
x⁴ = x²x²   ( pegar UM (x²))
x² = x.x    ( pegar UM (x))
5x³ = 5  ( pegar SÓ o (5))
10 = QUEM da 10 COM O (5)
10 = 5(2)  ENTÃO OUTRO É (2)


x⁴ - 5x³ + 13x² - 19x + 10 = 0
(x - 2)(x - 1)(x² - 2x + 5) = 0   ( são 4 RAIZES)  ( 2 delas SÃO)
(x - 2) = 0
x - 2 = 0
x = + 2
e
(x - 1) = 0
x - 1 = 0
x = + 1

AS duas RAIZES são:
x' = + 2
x'' = + 1

( OUTRA DUAS)  SENDO QUE uma DELAS( x = 1 + 2i)

(x² - 2x + 5) = 0
x² - 2x + 5 = 0
a = 1
b = - 2
c = 5
Δ = b² - 4ac
Δ = ( -2)² - 4(1)(5)
Δ = + 4 - 20
Δ = - 16   (altençao)
√Δ = √-16  ( número COMPLEXO)
√-16 = √16(-1)     e (-1 = i²)
√-16 = √16i²         e ( 16 = 4x4 = 4²)
√ 16i² = √4²i²   ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²))
√16i = 4i
assim
√Δ = 4i

se
Δ < 0 e (Δ = -16) DUAS raizes diferentes)
(baskara)
       - b + - √Δ
x = --------------      ( sendo √Δ = 4i)
             2a

       - (-2) - 4i        + 2 - 4i                                            1 - 2i
x' = ---------------- = ------------ (DIVIDE tudo POR 2) = ---------- =  1 - 2i
           2(1)                2                                                    1

e
        -(-2) + 4i             2 + 4i                                      1 + 2i
x" = ----------------- = -----------(DIVIDE tudo POR 2) ----------- =  1 + 2i
            2(1)                  2                                             2

ASSIM
SÃO  4 raizes:
x'  = 1 + 2i  ( dado no TEXTO)
x" = 1 - 2i
x'" = 1
x"" = 2