Question

Resolva a equação x3 – 9x2 + 2x + 48 = 0, sabendo que uma das raízes é a média aritmética das outras duas

Answer 1

Sendo $r_1$, $r_2$ e $r_3$ as três raízes da equação de 3° grau. Temos que:

$y = x^3 - (r_1 + r_2 + r_3) \cdot x^2 + (r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_2 + r_2 \cdot r_3) \cdot x - r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$

Assim sendo:

$\left\{\begin{array}{c}r_1 + r_2 + r_3 = 9\\r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_3 + r_2 \cdot r_3 = 2\\r_1 \cdot r_2 \cdot r_3=-48\end{array}$

Sabendo que uma das raízes, direi $r_3$ é a média aritméticas das outras duas:

$r_3 = \dfrac{r_1 + r_2}{2}$

Então, na primeira linha do sistema teremos que:

$r_1 + r_2 + \dfrac{r_1 + r_2}{2} = 9$

$\dfrac{2 \cdot r_1 + 2 \cdot r_2 +r_1 + r_2}{2} = 9$

$3 \cdot r_1 + 3 \cdot r_2 = 9 \cdot 2$

$r_1 + r_2 = 3 \cdot 2$

$r_1 + r_2 = 6$

Assim sendo:

$r_3 = \dfrac{r_1 + r_2}{2}$

$r_3 = \dfrac{6}{2}$

$r_3 = 3$

Agora, olhando para a terceira linha do sistema:

$r_1 \cdot r_2 \cdot 3 = -48$

$r_1 \cdot r_2= -\dfrac{48}{3}$

$r_1 \cdot r_2= -16$

Assim, a soma das duas raízes é 6 e o produto -16, não é difícil estimar que os números são 8 e -2.

Ou seja, a solução é:

$\boxed{x_1 = 8\text{ , }x_2 = -2\text{ e }x_3 = 3}$