Question

Resolva a equação x2 – 6x + 5 = 0 completando quadrado

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{1,\,5\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 6x + 5 = 0\end{gathered}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 6x = -5\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 6x + \bigg(\frac{-6}{2}\bigg)^{2} = -5 + \bigg(\frac{-6}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} - 6x + \frac{(-6)^{2}}{2^{2}} = -5 + \frac{(-6)^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 6x + \frac{36}{4} = -5 + \frac{36}{4}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 6x + 9 = -5 + 9\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 6x + 9 = 4\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 3)^{2} = 4\end{gathered}$

Como também queremos resolver a equação, devemos continuar com os cálculos para encontrar as raízes. Então, temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 3) = \pm\sqrt{4}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 3 \pm\sqrt{4} \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 3\pm2 \end{gathered}$

Obtendo as raízes temos:

                      $\Large\begin{cases} x' = 3 - 2 = 1\\x'' = 3 + 2 = 5\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{1,\,5\}\end{gathered}$

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