Question

Resolva a equação: x^4+3x³-2x²+3x+1 = 0

Answer 1

x^4 + 3x³ - 2x² + 3x + 1 = 0
Essa equação não admite raízes racionais, pois caso admitisse as possíveis seriam divisores do termos independente 1. No casao -1 ou +1. No entanto nem -1 nem 1 é raiz dessa equação.
Vamos dividir todos os termos por x² ≠ 0
x² + 3x - 2 + 3/x + 1/x² = 0
x² + 1/x² + 3x + 3/x - 2 = 0
x² + 1/x² + 3(x + 1/x) - 2 = 0  (I)

Fazendo x + 1/x = y  (quadrando)
x² + 2.x.1/x + 1/x² = y²
x² + 2 + 1/x² = y²
x² + 1/x² = y² - 2 (II)
Subst. (II) em (I)
y² - 2 + 3y - 2 = 0
y² + 3y - 4 = 0
Δ = 9 + 16 = 25
y = (-3-5)/2 = - 4
ou
y = -3 + 5)/2 = 1
p/ y = -4 => x + 1/ x = - 4 => x² + 1 = -4x
x² + 4x + 1 = 0
Δ = 16 - 4 = 12
x = (-4 - 2√3)/2 => x = -2 - √2  ou  x = (-4 + 2√3)/2 => x = -2 + √3

p/ y =1 => x + 1/x = 1 => x² + 1 = x => x² - x + 1 = 0
Δ = 1 - 4 = -3
x = (1 -√3 .i)/2 => x = 1/2 - (√3/2) i  ou x = 1 + √3/2 .i => x = 1/2 + (√3/2)i

S = { -2 - √2 ,  -2 + √2,  1/2 - (√3/2)i ,  1/2 + (√3/2)i}