Question

Resolva a equação: (x+1)!/(x-1)!=12. Por favor me ajudem

Answer 1

Temos uma questão que envolve fatoriais e equação de 2° grau, onde a resposta correta é 3.

Para resolver essa questão, primeiro é importante saber que fatorial de um número consiste no produto de todos os antecessores naturais (exceto zero) desse número. Algebricamente, chamando esse número de n, podemos expressar:

$\mathsf{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot...\cdot1}$

Por sua vez, o fatorial de n + 1 pode ser expressado da seguinte maneira:

$\mathsf{(n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot...\cdot1}$

Levando em consideração o que foi supramencionado, podemos desenvolver a expressão e simplifica-la em seguida - anulando valores que são idênticos, nos produtos do numerador e denominador. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{(x+1)!}{(x-1)!}=12}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x+1)\cdot x\cdot(x-1)!}{(x-1)!}=12}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x+1)\cdot x\cdot\overline{\overline{(x-1)!}}}{\underline{\underline{(x-1)!}}}=12}\\\\\\ \mathsf{x^2+x=12~~\therefore~~x^2+x-12=0}$

A equação de 2° grau pode ser resolvida por Bháskara, onde a, b e c são os coeficientes da forma ax² + bx + c = 0. Teremos:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-1\pm7}{2}}\\\\\\\\ \mathsf{x_1=\dfrac{-1+7}{2}=\dfrac{6}{2}=3}\\\\\\ \mathsf{x_2=\dfrac{-1-7}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4}$

Como comentado no início da resolução, os fatoriais envolvem apenas números naturais. Por essa razão, a raiz válida é apenas a que contém um número natural - ou seja, a resposta correta é 3.

Para demonstrar e verificar a resposta, segue a troca de x por 3 na expressão.

$\mathsf{\dfrac{(x+1)!}{(x-1)!}=12}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(3+1)!}{(3-1)!}=12}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{4!}{2!}=12}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{24}{2}=12}\\\\\\ \mathsf{12=12~\checkmark}$