Matemática, perguntado por CrocodiloImperador, 5 meses atrás

Resolva a equação trigonométrica senx-sen³x=0:

Soluções para a tarefa

Respondido por albertrieben

Vamos là.

sen(x) - sen³(x) = 0

sen(x) * (1 - sen²(x)) = 0

sen(x) * cos²(x) = 0

sen(x) = 0 , x1 = 0, x2 = π

cos²(x) = 0

cos(x) = 0

x3 = π/2

x4 = 3π/2

CrocodiloImperador: Muito obrigado

albertrieben: de nada, bons estudos

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = A \cup B\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \{x \in \mathbb{R}\:|\: x = k\pi,\:\forall k \in \mathbb{Z}\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\: x = \pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\:\forall k\in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

Seja a equação trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sin x - \sin^{3} x = 0\end{gathered}$}$

Resolvendo a referida equação trigonométrica, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\sin x - \sin^{3} x & = 0\\\sin x\cdot(1 - \sin^{2}x) & = 0\\\sin x \cdot \cos^{2}x & = 0\end{aligned} $}$

Chegando nesta etapa, devemos:

Encontrar o valor do seno de "x":

$\Large \text {$\begin{aligned}\sin x & = 0\\x & = \arcsin(0)\\x &\Longrightarrow \Large\begin{cases} x_{1} = 0\\x_{2} = 180^{\circ} = \pi \,rad\end{cases}\end{aligned} $}$

Encontrar o valor do quadrado do cosseno de "x":

$\Large \text {$\begin{aligned}\cos^{2} x & = 0\\\cos x & = \sqrt{0}\\\cos x & = 0\\x & = \arccos(0)\\x & \Longrightarrow \Large\begin{cases} x_{3} = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}rad\\x_{4} = 270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}rad\end{cases}\end{aligned} $}$

Portanto, chegamos a quatro possíveis ângulos no intervalo [0, 2Π], que são:

$\Large\begin{cases} \alpha = 0\\\beta = 90^{\circ}\\\gamma = 180^{\circ}\\\theta = 270^{\circ}\end{cases}$

Agora, para concluir, devemos perceber que o conjunto solução da referida equação é a união de todos os conjunto formado pelas medidas de todos os arcos côngruos aos arcos de medidas 0, 90°, 180° e 270°. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \{x \in \mathbb{R}\:|\: x = k\pi,\:\forall k \in \mathbb{Z}\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\: x = \pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\:\forall k\in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

✅ Portanto, o conjunto solução da equação é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = A \cup B\end{gathered}$}$