Question

Resolva a equação trigonométrica no intervalo [0, pi] : cos(2x) + cos(4x) = 0

Answer 1

Use a fórmula de conversão de soma de funções trigonométricas em produto:

$\cos{2x} + \cos{4x}=0 \rightarrow 2 \cos{(\frac{2x+4x}{2})} \cos{(\frac{2x-4x}{2})} \\ \rightarrow 2 \cos{(3x)} \cos{(-x)}=0 \\ \rightarrow 2 \cos{3x}\cos{x}=0 \\ \rightarrow \cos{3x}\cos{x}=0$

Claramente, o produto entre dois números é zero quando um deles é zero. Portanto, são soluções da equação

$\cos{3x} = 0 \ \text{(I)} \\ \text{ou} \ \cos{x}=0 \ \text{(II)} \\ \text{(I)} \ 3x = \frac{\pi}{2} + k \pi = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \dots \\ \text{(II)} \ x = \frac{\pi}{2} + k \pi = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \dots$

Mas, como $x \in [0, \pi]$, restringimo-nos às soluções 

$\text{(I)} \ 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \\ \text{(II)} \ x = \frac{\pi}{2}$

Portanto, o conjunto solução S é 

$S = \{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \}$

Substituí esses três valores de x na equação original e obtive 0 nos três casos, como esperado.