Matemática, perguntado por Leolins49, 6 meses atrás

Resolva a equação trigonométrica:

cosec2x = −√2.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = A \cup B\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\:x = \frac{5\pi}{8} + 2k\pi,\:\forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\:x = \frac{7\pi}{8} + 2k\pi,\:\forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

Seja a equação trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{cossec} \:2x = -\sqrt{2}\end{gathered}$}$

Resolvendo a equação, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\textrm{cossec}\: 2x & = -\sqrt{2}\\\frac{1}{\sin 2x} & = -\sqrt{2}\\-\sqrt{2}\sin 2x & = 1\\\sin 2x & = -\frac{1}{\sqrt{2}}\\\sin 2x & = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\sin 2x & = -\frac{\sqrt{2}}{2}\\2x & = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\x & = \frac{\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}\end{aligned} $}$

Chegando neste ponto, percebemos que existe dois possíveis valores para "x", que são:

$\Large\begin{cases} x' = \dfrac{\dfrac{5\pi}{4}}{2} = \dfrac{5\pi}{4}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{5\pi}{8}\\\\x'' = \dfrac{\dfrac{7\pi}{4}}{2} = \dfrac{7\pi}{4}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{7\pi}{8}\end{cases}$

Agora devemos perceber que o conjunto solução da equação é a união dos conjuntos formados pelas medidas de todos os arcos côngruos aos aros encontrados, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\:x = \frac{5\pi}{8} + 2k\pi,\:\forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\:x = \frac{7\pi}{8} + 2k\pi,\:\forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

✅ Então, o conjunto solução é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = A \cup B\end{gathered}$}$