Question

resolva a equação trigonométrica:

4.cosx+3.secx=8

Answer 1

Bom dia Jose!

Solução!

Para resolver essa equação trigonométrica tem que lembrar de algumas relações básicas,nesse caso sec(x) ,pois com essa relação a equação trigonométrica recai em uma equação do segundo grau.

$Primeira~rela\c{c}\~ao\Rightarrow (x)= \dfrac{1}{cos(x)}$

$4cos(x)+3.sec(c)=8$

$4cos(x)+3.sec(x)-8=0$

$4cos(x)+ \dfrac{3.1}{cos(x)}-8=0$

$4cos^{2}x+3-8cos(x)=0$

$4cos^{2}x-8cos(x)+3=0$

Veja que saímos em uma equação do segundo grau.

Vamos nesse momento separar os coeficientes e aplicar a formula de Bhaskara.

$Formula\Rightarrow x= \dfrac{-(x)\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$Coeficientes$

$a=4$

$b=-8$

$c=3$

Nesse momento vamos substituir os coeficientes na formula.

$Cos(x)= \dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4.4.3 } }{2.4}$

$Cos(x)= \dfrac{(8)\pm \sqrt{64-48 } }{8}$

$Cos(x)= \dfrac{(8)\pm \sqrt{16 } }{8}$

$Cos(x)= \dfrac{8\pm 4 }{8}$

Analisando a equação baseado nas raizes.

$cos x_{1}= \dfrac{8+4}{8}= \dfrac{12}{8}= \dfrac{3}{2}$

Não serve pois o raio da circunferência é unitário e essa raiz é maior que 1.

$cos x_{2}= \dfrac{8-4}{8}= \dfrac{4}{8}= \dfrac{1}{2}$

$Cos x_{2}= \dfrac{1}{2}$

Logo por se tratar do circulo trigonométrico chegamos a esse resultado.

$Cos(60\º)= \dfrac{1}{2}$

$Cos(120\º)= -\dfrac{1}{2}$

$cos(240\º)=- \dfrac{1}{2}$

$cos(300\°)= \dfrac{1}{2}$

(Obs)Coloquei aqui os quatro ângulos correspondentes ao cosseno de 60º,ai fica a critério o qual você vai usar de acordo com a questão.

Bom dia!
Bons estudos