Question

Resolva a equação (todos na base 2):
Log (x-3) + Log x = 2

(Me ajudem galera).

Answer 1

Vou colocar todos os logaritmandos entre parênteses, só para diferenciar eles e a base, ok?

log2(x-3)+log2(x)=2

Pela propriedade dos logaritmos:

log2(x-3).(x)=2

Agora pela definição, você sabe que log a (b)=c signfica que a^c=b (a base elevada ao valor do logariml logaritmo "c" é igual ao logarimando "b")

Então...

2^2=(x-3).(x)
4=(x-3).(x)
4=x^2-3x
0=x^2-3x-4

P=x'.x"=(-1).4
S=x'+x"=-1+4

x'=-1 ou x"=4

Como não existe logaritmando negativo, x=4

Answer 2

Olá

Temos a seguinte equação logarítmica

$\mathtt{\log_2(x-3)+\log_2(x)=2}$

Reescreva a soma como um logaritmo de produto

$\mathtt{\log_2[x\cdot(x-3)]=2}$

Levando em conta a identidade logarítmica
$\boxed{\mathtt{\log_y(x)=z~|~y^{z}=x}}$

Aplique-a

$\mathtt{x\cdot(x-3)=2^2}$

Potencialize e multiplique os valores

$\mathtt{x^{2}-3x=4}$

Mude a posição do termo independente, alterando seu sinal

$\mathtt{x^2-3x-4=0}$

Usando a fórmula de bháskara, podemos encontrar os valores de x

$\mathbf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}}$

Lembrando que o discriminante delta que define o radicando equivale a seguinte expressão
$\boxed{\mathsf{\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c}}$

Sabendo que os coeficientes desta equação são
$\begin{cases}a=1\\ b=-3\\ c=-4\\ \end{cases}$

Substitua-os

$\mathbf{x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}}$

Simplifique as multiplicações e jogos de sinal

$\mathbf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}}$

Simplifique a soma no radicando e o próprio radicando

$\mathtt{x=\dfrac{3\pm5}{2}}$

Então, separe as raízes

$\mathtt{x_1=\dfrac{3-5}{2}~~~~~~x_2=\dfrac{3+5}{2}}$

Reduza os termos semelhantes no numerador e simplifique a fração

$\mathtt{x_1=-1~~~~~~x_2=4}}$

Resubstituindo os valores, percebemos que a raiz negativa torna um dos argumentos negativos

Isso implica que somente a raiz positiva é real

Resposta
$\boxed{\mathbf{log_2(x-3)+\log_2(x)=2~|~x\in\mathbb{R}~/~x=\{4\}}}$