Question

Resolva a equação [tex] x^{5}-x=0, sabendo 1,i e -i são raízes dessa equação

Answer 1

[tex] x^{5}-x=0, sabendo 1,i e -i são raízes dessa equação

EQUAÇÃO DO 5º grau = 5 raízes

sendo 3 raizes
x' = 1
x" = i
x'" = - i

PARA ressolver FAREMOS 
USANDO A FÓRMULA DAS RAIZES
(x- x')(x - x")(x - x'")(x - x"")(x - x'"") = 0

as tRes(3) RAIZES 
(x - x')(x - x'')(x - '") = 0
(x - 1)(x - i)(x - (-i)) = 0
( x - 1)(x - i)(x + i) = 0  ( as DUAS ultimas (1º)
(x - 1)(x² + xi - xi - i²) = 0
(x - 1) (x²      0     - i²) = 0
 
 (x - 1)(x² - i²)     lembrando que: i² = - 1  ( vmos substituir)
(x - 1)(x² -(-1)) = 0
(x - 1)(x² + 1)
(x³ +1x - 1x² - 1 ) = 0
x³ - 1x² + 1x - 1 = 0

FAREMOS o inverso DA multiplicação
multiplicação o seu INVERSO é a divisão

x⁵ - x  : x³ - 1x² + 1x - 1
 
                x⁵ - x                    |____x³ - 1x² + 1x - 1______completar
                                                                                    para facilitar
                                                                                    a divisão
     
     x⁵ + 0x⁴ + 0x³ +0x² -  x     |___x³ - 1x² +1x - 1____
   - x⁵ + 1x⁴ -1x³ +  1x²                    x² + x 
   ------------------------------
      0  + 1x⁴ - 1x³ + 1x² - x
          - 1x⁴ + 1x³ - 1x²  +x 
          ------------------------------
              0      0      0    0

então

x² + x = 0 
x(x + 1) = 0
x = 0
(x + 1) = 0
x + 1 = 0
x = - 1

então as RA´ZES SÃO

x' = 1
x" = i
x'" = - i
x"" = 0
x'"" = - 1