Question

Resolva a equação :


$\mathtt{ \dfrac{x - ab}{a + b} + \dfrac{x - ac}{a + c} + \dfrac{x - bc}{b + c}~=~a + b + c }$


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Answer 1

Queremos resolver:

$\mathsf{\dfrac{x-ab}{a+b} +\dfrac{x-ac}{a+c} +\dfrac{x-bc}{b+c} =a+b+c}$      ( I )

Se o coeficiente de  x é não nulo, a equação é do primeiro grau. Então podemos resolver na "força bruta" tirando o mmc e isolando o x. Dá um pouco de trabalho.

Outra forma é reorganizar os termos e fatorar, explorando as simetrias do problema:

$\mathsf{\left( \dfrac{x-ab}{a+b} -c\right)+\left(\dfrac{x-ac}{a+c} - b\right) +\left(\dfrac{x-bc}{b+c} -a\right) =0}$

$\mathsf{\dfrac{x-ab-bc-ac}{a+b} +\dfrac{x-ab-bc-ac}{a+c} +\dfrac{x-ab-bc-ac}{b+c} =0}$

$\mathsf{ (x - ab-bc-ac)\left(\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{a+c} +\dfrac{1}{b+c} \right) =0}$

Daí, caso o fator da direita seja não nulo, devemos ter x = ab+bc+ac

Resposta:

x = ab + bc + ac para 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) ≠ 0. Caso contrário, ( I ) é sempre verdadeira.