Question

Resolva a equação:
$2^{x} - 2^{-x} = 5(1- 2^{-x} )$

Answer 1

Primeiro vamos reescrever a equação:

$2^{x} - (2^{x})^{-1} = 5(1 - (2^{x})^{-1})$

Agora chamaremos:

$u=2^{x}$

Substituindo:

$u - u^{-1} = 5(1 - u^{-1})$

Resolvendo em u:

$u - \frac{1}{u} = 5(1 - \frac{1}{u} ) \\\\ \frac{u^{2} - 1}{u} = 5( \frac{u - 1}{u} ) \\\\ u^{2} - 1 = 5(u - 1) \\\\ u^{2} - 1 - 5u + 5 = 0 \\\\ u^{2} - 5u + 4 = 0 \\\\ (u - 1)(u - 4) = 0 \\\\ u'=1 \\ u'' = 4$

Retornando x:

$1 = 2^{x'} \\ x' = 0 \\\\ 4 = 2^{x''} \\ x'' = 2$

Solução:

S = {0, 2}