Question

Resolva a equação:

$1+ \sqrt{ x+2}= \sqrt{2x+2}$

Answer 1

$1+\sqrt{x+2} = \sqrt{2x+2} \\\\ \text{eleva os dois lados ao quadrado} \\\\ (1+\sqrt{x+2})^{2} = (\sqrt{2x+2})^{2} \\\\ 1+2\sqrt{x+2}+(x+2) = 2x+2 \\\\ 2\sqrt{x+2} = 2x-x+2-3 \\\\ 2\sqrt{x+2} = x-1 \\\\ \text{eleva ao quadrado novamente} \\\\ (2\sqrt{x+2}) = (x-1)^{2} \\\\ 4 \cdot (x+2) = x^{2}-2x+1 \\\\ 4x+8 = x^{2}-2x+1 \\\\ x^{2}-2x-4x+1-8 = 04 \\\\ x^{2}-6x-7 = 0$

Agora é só resolver a equação de segundo grau:

$\Delta = b^{2}-4 \cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-6)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (-7) \\\\ \Delta = 36+28 \\\\ \Delta = 64 \\\\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{6 \pm 8}{2} \\\\\\ \Rightarrow x' = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = \boxed{7} \\\\ \Rightarrow x'' = \frac{6 - 8}{2} = -\frac{2}{2} = \boxed{-1}$

O -1 não pode entrar, pois se substituir no início do exercício, verá que dará raiz de número negativo, que não existe em reais.

$\boxed{\boxed{S = \{7\}}}$