Question

Resolva a equação
$1 + 2 \times log {4}^{2} \times log {4}^{10 - x} = \frac{2}{loog{4}^{x} }$


​

Answer 1

Assumindo que o log seja na base 10, teremos as raizes x1=10,042 e x2=0,020676

comecemos com a equação dada

$1 + 2 \times log {4}^{2}  \times log  {4}^{10 - x}  =  \frac{2}{log{4}^{x} }$ ​

O primeiro passo será multiplicar os dois lados da equação por

${log{4}^{x} }$ ​

${log{4}^{x} }(1 + 2 \times log {4}^{2}  \times log  {4}^{10 - x})  ={2}$ ​

Agora aplicamos a propriedade de $log(a)^x=x\,log(a)$

${x\,log{4} }(1 + 4(10-x) \times log {4}  \times log  {4})  ={2}$ ​

Observe agora que $log4log4=log4^2$, e, por isso

${x\,log{4} }(1 + 4(10-x) \times (2\times log {4}))  ={2}$ ​(por que aplicamos a regra da potencia de novo)

vamos agora efetuar a distributiva

$x\,log{4} + 8(10-x)\times x\,log{4} \times log {4}  ={2}$ ​

$x\,log{4} + 8(10-x)\times x\,log{4} ^2  ={2}$ ​

$x\,log{4} + 16(10-x)\times x\,log{4}  ={2}$ ​

agora fatoramos log(4) para fora e passamos dividindo para o outro lado

$x + 16(10-x)\times x  =\dfrac{2}{log4}$ ​

$161x-16x^2  -\dfrac{2}{log4} =0$ ​

agora resolvemos por bhaskara $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\dfrac{-161\pm\sqrt{161^2-4(-16)(-\dfrac{2}{log4})}}{-32}=$

E assumindo que o log seja na base 10, teremos as raizes x1=10,042 e x2=0,020676