Question

Resolva a equação sen³ x - sen² - 4 sen x + 4 = 0

Answer 1

$(sen~x)^{3}-(sen~x)^{2}-4(sen~x)+4=0$

Chame sen x de y:

$y^{3}-y^{2}-4y+4=0$

Perceba que y = 1 é raiz da equação (1 - 1 - 4 + 4 = 0). Dividindo esse polinômio por (y - 1) pelo algoritmo de briot-ruffini (se quiser a imagem do algoritmo, deixe um comentário), obtemos:

$y^{2}+0y-4=0\\y^{2}=4\\y=\pm\sqrt{4}\\y=\pm2$

Logo, temos 3 possíveis soluções para a variável y:

$y=1\\y=-2\\y=2$

Retornando para sen x e avaliando caso a caso:

$sen~x=1~~~~x=90\º,450\º,-270\º,...~(arcos~c\^ongruos~a~90\º~(\frac{\pi}{2}~rad))$

Veja que sen x não pode ser 2 ou -2, pois a definição de seno seria desrespeitada. Portanto, temos como resposta os arcos côngruos a π/2 rad

Solução geral:

$\boxed{\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi~~~~~k\in\mathbb{Z}}}$